“답은 둘 다 맞았는데 11점이에요?” 100점 중 61점은 과정 — 중앙대 창의형 수리논술 샘플 6문항 해부
연구 요약
입시CUBE 2027 중앙대 창의형 논술 쌍둥이 샘플 1회(6문항, 100점)를 해설지의 채점표 27줄 단위로 다시 뜯어 읽었습니다. 최종 답이 적힌 줄에 걸린 점수는 39점입니다. 나머지 61점은 답 앞의 과정 줄에 있습니다. 여섯 문항은 세 가지 설계를 함께 씁니다. 인수분해가 되도록 고른 숫자, 계산 도중 지워지도록 짠 근호와 적분, 그리고 점수가 따로 붙은 근거 한 줄입니다. 이 글은 문항마다 풀이 뼈대와 감점 줄, 30초 검산법을 정리하고 10월 11일 시험까지 남은 보름의 연습 순서를 제안합니다.
목차
- 샘플 한 회를 이렇게까지 뜯는 까닭
- 채점표 27줄 — 100점은 어디에 걸려 있나
- 15점 네 문항 — 접선, 음함수, 역함수, 수열
- 20점 두 문항 — 합성과 세 직선
- 여섯 문항이 함께 쓰는 설계 셋
- 10월 11일까지, 쌍둥이 10회를 푸는 순서
1. 샘플 한 회를 이렇게까지 뜯는 까닭
“답은 둘 다 맞았는데 왜 11점이에요?”
수리논술 답안을 처음 채점받으면 흔히 나오는 말입니다. 이 샘플의 3번 문항이 딱 그런 경우예요. \(h'(g(1))=\dfrac{e}{6e+a}\) 와 \(a=\dfrac{8e}{e-1}\) 두 답을 모두 맞혀도, "\(g\)는 증가함수다"라는 한 줄(3점)과 "적분구간이 0에서 1로 바뀐다"는 한 줄(1점)을 빼면 15점 중 11점입니다. 계산은 완벽했는데 4점이 사라집니다.
중앙대 창의형 논술은 2027학년도에 새로 생긴 전형입니다. 10월 11일(일) 120분 동안 6문항을 풉니다. 대학이 공개한 모의논술은 1회분뿐이라 연습할 재료가 거의 없습니다. 그래서 그 1회분의 구조를 그대로 두고 숫자와 함수만 바꿔 쌍둥이 모의고사 10회분을 만들었고, 그 가운데 1회를 무료 샘플로 공개했습니다. 이 글은 그 시험지 한 장을 연구소의 눈으로 다시 뜯어보는 기록이에요. 전형의 구조와 경쟁률은 홈페이지 분석 글에 정리해 두었습니다.
2. 채점표 27줄 — 100점은 어디에 걸려 있나
샘플 해설지에는 문항마다 단계별 채점 기준을 붙여 두었습니다. 여섯 문항을 합치면 27줄입니다. 한 줄 한 줄을 최종 답이 적힌 줄과 그 앞의 과정 줄로 갈랐습니다. (이 채점 기준은 저희 교재의 기준이고, 중앙대가 공개한 기준은 아닙니다.)
| 문항 | 배점 | 단원·도구 | 최종 답 | 답 줄 | 과정 줄 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 접선, 삼차방정식의 중근, 정적분의 극한 | \((-10,-990)\), \(225\) | 5 | 10 |
| 2 | 15 | 음함수의 미분, 동차식 인수분해 | \(3,\ 3\sqrt[4]{5},\ 6\) | 6 | 9 |
| 3 | 15 | 적분으로 정의된 함수, 역함수의 미분·적분 | \(\frac{e}{6e+a}\), \(\frac{8e}{e-1}\) | 4 | 11 |
| 4 | 15 | 등차수열, 점과 직선 사이의 거리, 합 공식 | \(638\) | 3 | 12 |
| 5 | 20 | 곱의 미분, 삼각함수의 합성, 닫힌구간 최댓값 | \(\frac{3}{\sqrt2}e^{5\pi/6}\) | 6 | 14 |
| 6 | 20 | 꺾인 곡선과 한 점 직선, 부분적분 | \(3e^5-6e^4+3e^3+1\) | 15 | 5 |
| 합계 | 100 | 39 | 61 |
데이터 해석
- 답만 적은 답안은 39점: 여섯 문항의 최종 답을 전부 맞혀도 과정을 비우면 만점의 절반에 못 미칩니다. 수리논술에서 답은 채점관이 읽는 마지막 한 줄일 뿐입니다.
- 6번만 거꾸로다: 6번은 답 줄이 15점, 과정 줄이 5점입니다. [6-1]이 좌표 세 개를 묻고, 좌표 하나하나가 근거를 달고 나와야 점수가 되기 때문입니다. 1~5번은 '어떻게'에 점수를 주고, 6번은 '무엇을 찾았나'에 점수를 줍니다.
1~5번만 떼어 보면 80점 가운데 56점(70%)이 과정 줄입니다. 계산이 한 번 어긋나도 식을 제대로 세웠다면 절반 넘게 남는다는 뜻이에요. 거꾸로, 식을 건너뛰고 답만 맞히면 손에 남는 점수가 적습니다.
시험장에서 시간이 모자랄 때 무엇부터 쓸지가 여기서 정해집니다. 계산을 끝까지 밀기 전에 식과 근거 줄을 먼저 답안지에 적으십시오.
3. 15점 네 문항 — 접선, 음함수, 역함수, 수열
문제 1 — 교점은 계산하기 전에 이미 나와 있다
곡선 \(y=x^3-x\) 위의 점 \((5,120)\)에서 그은 접선을 \(l\)이라 합니다. [1-1]은 접점이 아닌 교점을, [1-2]는 구간 \([-10-\frac1n,\,-10+\frac1n]\)에서 곡선과 \(l\) 사이의 넓이 \(A_n\)에 대해 \(\lim n^2A_n\)을 묻습니다.
\(t=x+10\)으로 두면 곡선과 직선의 차는 \((t-15)^2t\)이고 구간은 \([-\frac1n,\frac1n]\)입니다.
- 감점 줄: 차 \((x-5)^2(x+10)\)의 부호가 \(x=-10\)에서 바뀐다는 한 줄입니다. 이 줄이 걸린 항목이 5점입니다. 절댓값 없이 통째로 적분하면 두 조각이 서로 지워져 \(-\frac{20}{n^3}\)만 남습니다.
- 30초 검산: \(x^3-x\)에는 \(x^2\)항이 없습니다. 세 근의 합이 0이니 접점 5가 두 번 세어지면 남은 근은 \(-10\)입니다. \(y=x^3+px\) 꼴이면 언제나 \(x=a\)의 접선이 \(x=-2a\)에서 다시 만납니다.
극한값 225도 계산 전에 보여요. \(225=(-10-5)^2=15^2\)입니다. 폭이 0으로 줄면 \((x-5)^2\)이 상수 225처럼 굴고, 두 조각은 밑변 \(\frac1n\)·높이 \(\frac{225}{n}\)인 삼각형 둘이 됩니다. 답이 225가 아니면 적분 계산부터 다시 보십시오.
문제 2 — 3645는 소인수분해를 부르는 숫자
두 양수 \(x,y\)에 대해 곡선 \(x^4+7x^2y^2+y^4=3645\) 위, \(x\)좌표가 \(a\)인 점의 접선이 \(y=-x+3\)과 평행할 때 \(a\)를 모두 구합니다.
| 경우 | 곡선에 넣으면 | \(a\) |
|---|---|---|
| \(y=x\) | \(9x^4=3645,\ x^4=405=3^4\cdot5\) | \(3\sqrt[4]{5}\approx4.49\) |
| \(y=2x\) | \(45x^4=3645,\ x^4=81\) | \(3\) |
| \(x=2y\) | \(\frac{45}{16}x^4=3645,\ x^4=1296\) | \(6\) |
그림 3의 오른쪽 판이 이 문항의 숨은 함정입니다. \(3\le x\le6\)에서 접선의 기울기는 \(-0.98\)과 \(-1.03\) 사이만 오갑니다. 곡선이 그 구간에서 거의 직선이라, 그래프를 그려 눈으로 접점을 찾으려 하면 세 점이 갈리지 않습니다. 세 점을 가르는 것은 그림이 아니라 인수분해입니다.
- 감점 줄: 세 인수를 모두 남겨 세 경우를 빠짐없이 다뤄야 합니다. 답 줄이 \(a\) 하나에 2점씩이라, 한 경우를 놓치면 그대로 2점이 빠집니다. \(x>0\)이라 양의 근만 취한다는 말도 한 줄 적으십시오.
- 30초 검산: \((3,6)\)을 넣어 봅니다. \(81+2268+1296=3645\). 곡선의 식은 \(x\)와 \(y\)를 바꿔도 그대로이니 \((6,3)\)도 저절로 맞습니다.
3645도 일부러 고른 숫자예요. \(3645=5\cdot3^6\)이라 45로 나누면 \(3^4\), 9로 나누면 \(3^4\cdot5\)가 됩니다. 네제곱근이 깔끔하게 풀리도록 맞춘 값이죠.
문제 3 — 고교에서 못 구하는 적분이 끝까지 나오지 않는다
양의 실수 \(a\)에 대해 \(g(x)=6x+a\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}dt\)입니다. [3-1]은 역함수 \(h\)에 대해 \(h'(g(1))\)을, [3-2]는 \(\displaystyle\int_0^{g(1)}g^{-1}(x)\,dx=7\)이 되는 \(a\)를 묻습니다.
\(x=g(u)\)로 치환합니다. \(g(0)=0\)이므로 적분구간은 \(0\to1\)입니다.
이 문항에서 가장 눈여겨볼 것은 \(\int_0^1e^{-t^2}dt\)입니다. 고교 과정에서는 값을 구할 수 없는 적분인데, 문제의 \(g(1)\) 안에 들어 있습니다. 출제자는 이 값이 끝까지 필요 없도록 짰습니다. 치환하면 \(e^{-u^2}\) 앞에 \(u\)가 붙어 바로 적분되고, 그림 4처럼 사각형 \(1\times g(1)\)에서 곡선 아래 넓이를 빼는 길로 가도 부분적분을 거치면 이 항이 서로 지워집니다.
- 감점 줄: \(e^{-x^2}>0\), \(a>0\)이라 \(g'>0\)임을 쓰는 줄이 3점, \(g(0)=0\)이라 구간이 \(0\to1\)로 바뀐다는 줄이 1점입니다. 1장에서 말한 11점 답안이 바로 이 4점을 비운 답안입니다.
- 30초 검산: \(g'(1)>6\)이니 \(h'(g(1))\)은 \(\frac16\)보다 작아야 합니다. \(t=u^2\) 치환에서 \(\frac12\)을 빠뜨리면 \(a\)가 정답의 절반인 \(\frac{4e}{e-1}\)로 나옵니다.
계산 도중 \(\int_0^1e^{-t^2}dt\)가 답에 남아 있다면 길을 잘못 든 것입니다. 그때는 치환부터 다시 보십시오.
문제 4 — 근호가 사라지는 넓이
곡선 \(y=\sqrt x\) 위의 점 \(P_n(a_n^2,a_n)\)과 \(x\)축 위의 점 \(Q_n(b_n,0)\)이 \(a_1=1\), \(a_{n+1}=a_n+1\), \(b_n=a_n^2+3a_n\)을 만족합니다. 삼각형 \(P_nQ_nP_{n+1}\)의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때 \(\sum_{n=1}^{11}S_n\)을 구합니다.
- 감점 줄: 첫 줄이 8점입니다. \(a_n=n\)과 세 점의 좌표를 정확히 쓰는 데 15점 중 8점이 걸려 있습니다. \(b_n\)의 계수 3을 놓치면 그 뒤가 전부 틀어집니다.
- 30초 검산: \(n=1\)일 때 \(Q_1(4,0)\)은 \(P_2(4,2)\) 바로 아래에 있습니다. 세로 변 2, \(P_1\)까지 가로 거리 3이니 넓이는 3이고, \(n^2+2n\)에 1을 넣은 값과 같습니다. 합의 범위도 확인하십시오. 10까지 더하면 495가 나옵니다.
밑변의 \(\sqrt{(2n+1)^2+1}\)과 높이 분모의 근호가 똑같이 생긴 것은 우연이 아닙니다. 곱하면 사라지도록 짠 거예요. 세 꼭짓점 좌표로 넓이를 한 번에 내는 공식(신발끈 공식)은 교과서 밖이라 이 채점표는 밑변 × 높이 풀이에 점수를 줍니다. 그 공식은 검산에만 쓰십시오.
4. 20점 두 문항 — 합성과 세 직선
문제 5 — 합성을 두 번 하면 부호가 보인다
\(f(x)=e^{x+\frac{5\pi}{12}}(a\sin x+b\cos x)\)가 \(f\!\left(\frac\pi6\right)=f'\!\left(\frac\pi6\right)=3e^{\frac{7\pi}{12}}\)를 만족합니다. [5-1]은 \(a,b\)를, [5-2]는 \([0,\pi]\)에서의 최댓값을 묻습니다.
\(f'(\frac\pi6)=f(\frac\pi6)\)이니 뒤의 괄호가 0입니다. \(\frac{\sqrt3}{2}a-\frac12b=0\)에서 \(b=\sqrt3a\)가 곧바로 나옵니다. \(f(\frac\pi6)\) 조건은 \(a+\sqrt3b=6\)을 줍니다.
\([0,\pi]\)에서 \(f'=0\)인 곳은 \(x=\frac{5\pi}{12}\) 하나이고, 그 앞뒤로 부호가 \(+\)에서 \(-\)로 바뀝니다.
- 감점 줄: 끝점 비교가 3점입니다. \(e^x\)가 계속 커지니 \(x=\pi\)가 최대일 것 같지만, 사인 인수가 음수가 되어 \(f(\pi)\approx-222.6\)입니다. \(f(0)\approx9.62\), \(f(\pi)<0\)을 적고 극값과 비교해야 최댓값이 확정됩니다.
- 30초 검산: \(a\sin\frac\pi6+b\cos\frac\pi6=\frac34+\frac94=3\). 조건의 계수 3과 맞습니다. \(\sqrt{a^2+b^2}\)도 3입니다.
\(\frac{5\pi}{12}\)라는 어색한 숫자도 계산을 깔끔하게 하려고 고른 값입니다. 극대점 \(x=\frac{5\pi}{12}\)에서 지수는 \(\frac{5\pi}{6}\), 사인은 \(\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\)로 떨어집니다. 이 문항은 원본 모의논술의 구조를 그대로 두고 우변의 상수만 키워 만들었습니다. 쌍둥이 문항을 만들 때 바꾸는 것은 숫자이고, 남기는 것은 이런 설계입니다.
문제 6 — 한 점에서만 만나는 직선은 왜 셋일까?
점 \(P(t,0)\)을 지나면서 곡선 \(y=2e^{|x|}\)와 오직 한 점에서 만나는 직선은 세 개입니다. 만나는 점을 \(A,B,C\)(\(a_1<b_1<c_1\)), 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 \(S(t)\)라 합니다. [6-1]은 \(3\le t\le4\)에서 세 점의 좌표를, [6-2]는 \(\int_3^4S(t)\,dt\)를 묻습니다.
| 직선 | 근거 | 만나는 점 |
|---|---|---|
| ① 수직선 \(x=t\) | 함수의 그래프와 수직선은 한 번만 만난다 | \(B(t,\,2e^t)\) |
| ② 꺾인 점을 지나는 직선 | 기울기 \(-\frac2t\)가 \(-2\)와 \(2\) 사이 | \(A(0,\,2)\) |
| ③ 오른쪽 곡선의 접선 | 아래로 볼록, 접점 \(c=t+1\) | \(C(t+1,\,2e^{t+1})\) |
③은 접점을 \((c,2e^c)\)로 둡니다. 접선 \(y-2e^c=2e^c(x-c)\)가 \(P(t,0)\)을 지나니 \(-1=t-c\), 곧 \(c=t+1\)입니다.
- 감점 줄: 세 직선마다 근거를 달아야 A·B·C 점수를 온전히 받습니다. 가장 자주 빠지는 것이 ② 꺾인 점을 지나는 직선이에요. 미분 가능한 곡선만 다뤄 온 학생에게는 접선이 아닌 '한 점 직선'이 잘 떠오르지 않습니다.
- 30초 검산: \(S(3)\approx84.5\), \(S(4)\approx321.7\)입니다. \(S\)가 아래로 볼록하니 적분값은 두 값의 사다리꼴 넓이 \(203.1\)보다 작아야 합니다. 답 \(3e^5-6e^4+3e^3+1\approx178.9\)가 그 조건을 지킵니다.
답을 묶으면 \(3e^3(e-1)^2+1\)입니다. 넓이를 적분한 값이니 양수여야 하는데, 이렇게 묶으면 한눈에 양수입니다. 한 가지 더 적어 두면 분류가 닫힙니다. 왼쪽 곡선 \(y=2e^{-x}\)의 접선은 \(x\)절편이 1보다 작아 \(P(t,0)\)(\(t\ge3\))을 지나지 못합니다. 그래서 왼쪽 곡선의 접선은 세 직선에 끼지 않습니다.
5. 여섯 문항이 함께 쓰는 설계 셋
문항별로 흩어져 있던 관찰을 한 표에 모았습니다.
| 문항 | 인수분해되도록 고른 숫자 | 계산 도중 지워지는 것 | 점수가 붙은 근거 줄 |
|---|---|---|---|
| 1 | \((x-5)^2(x+10)\) | 극한에서 \(\frac{1}{2n^2}\) | 부호가 \(x=-10\)에서 바뀜 |
| 2 | \(3645=5\cdot3^6\) | — | \(x,y>0\)이라 양의 근만 |
| 3 | \(a=\frac{8e}{e-1}\) | \(\int_0^1e^{-t^2}dt\) | \(g'>0\), \(g(0)=0\) |
| 4 | \(S_n=n^2+2n\) | \(\sqrt{(2n+1)^2+1}\) | 합의 범위 \(n=1\sim11\) |
| 5 | \(\sqrt{a^2+b^2}=3\) | \(e^{7\pi/12}\) | 끝점 \(f(0)\), \(f(\pi)\) 비교 |
| 6 | \(3e^3(e-1)^2+1\) | \(\sqrt{1+m^2}\) | 세 직선 각각의 근거 |
컨설턴트의 시선
- 숫자가 떨어지는 방향이 검산 도구다: 여섯 문항 모두 계산 도중 근호, 지수 인수, 못 구하는 적분이 지워지도록 짜여 있습니다. 시험장에서 이것들이 남아 있다면 바로 앞 줄로 돌아가라는 신호로 쓰십시오. 끝까지 계산하고 나서 틀린 것을 알면 이미 늦습니다.
- 근거 줄은 계산 실력과 무관한 점수다: 증가함수와 적분구간, 부호 변화, 끝점, 양수 조건, 세 직선의 근거. 여섯 줄 모두 30초면 쓰는데, 이 줄들이 들어간 채점 항목을 더하면 18점입니다(1번 5점, 3번 4점, 5번 3점, 6번 6점).
여섯 문항 어디에도 교과서 밖의 개념은 없습니다. 미적분과 수학Ⅱ의 도구로 끝까지 계산을 밀어붙이는 시험이에요. 그래서 '창의형'이라는 이름을 보고 대학 수학이나 경시 문제를 찾아다니는 것은 남은 보름을 쓰는 방법으로 맞지 않습니다. 교과서 도구로 풀되, 설계 셋을 알아보는 눈을 기르십시오.
6. 10월 11일까지, 쌍둥이 10회를 푸는 순서
120분을 100점으로 나누면 1점에 1.2분입니다. 15점 문항은 18분, 20점 문항은 24분이 제 몫인데, 여기서 조금씩 떼어 마지막 검산 시간을 따로 두는 편이 낫습니다.
| 구간 | 시간 | 이때 할 일 |
|---|---|---|
| 15점 문항 4개 | 각 15분, 60분 | 식과 근거 줄부터 적는다 |
| 20점 문항 2개 | 각 20분, 40분 | 소문항 [ ]-1을 먼저 확정한다 |
| 검산·옮겨 쓰기 | 20분 | 30초 검산표를 한 줄씩 돈다 |
시험까지 보름 남았어요. 10회를 하루 한 회씩 120분 실전으로 모두 풀기에는 빠듯하고, 수능 공부도 멈출 수 없습니다. 그래서 순서를 이렇게 권합니다.
- 무료 샘플 1회를 120분 타이머로 푸십시오. 채점은 이 글의 표대로 답 줄과 과정 줄을 나눠 매깁니다. 답안은 연습장이 아니라 실제 규격 답안지에 씁니다.
- 과정 줄에서 5점 넘게 잃었다면 이후 회차마다 '깎이는 여섯 줄' 카드를 답안지 옆에 두고 푸십시오.
- 계산에서 잃었다면 문항마다 30초 검산을 습관으로 붙이십시오. 지워져야 할 것이 남았는지부터 봅니다.
- 쌍둥이 10회분 가운데 앞 5회는 120분 실전으로 풀고 그날 채점까지 끝냅니다. 뒤 5회는 채점에서 약했던 유형만 골라 문항 단위로 풉니다.
- 시험 사흘 전부터는 새 회차를 열지 마십시오. 틀린 답안을 처음부터 다시 쓰는 데 씁니다.
입시CUBE 교재중앙대 창의형 논술 쌍둥이 모의고사 10회분대학 공개 모의논술 1회분을 같은 설계로 10회분(60문항)까지 늘렸습니다. 단계별 채점기준표와 중앙대 규격 답안지를 함께 넣었습니다.표지를 누르면 교재 쪽으로 갑니다 →
연구소 도구
연구 노트 · 자료는 입시CUBE 「2027 중앙대 창의형 논술 쌍둥이」 샘플 1회(13쪽)의 문제·예시 답안·단계별 채점 기준입니다. 채점 기준은 교재에 붙인 것이며 중앙대 공식 기준이 아닙니다. 채점 항목 27줄을 최종 답이 적힌 줄과 그 앞의 과정 줄로 나눠 셌고, 여섯 문항의 답은 수치 적분과 대입으로 한 번 더 확인했습니다. 시험일·시간·문항 수는 2027 중앙대 수시모집요강을 따릅니다.
답을 맞히는 연습은 이미 충분히 했을 겁니다. 남은 보름은 답 앞의 61점을 줍는 데 쓰십시오.
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