미적분 샘플 10번, 조건이 틀린 걸 알아채고 고치기까지

연구 요약

9월 18일에 올린 EBS 수능특강 쌍둥이 변형 미적분 03 무료 샘플에서 10번 문제의 조건을 9월 26일에 고쳤습니다. 문제는 t가 2로 오른쪽에서 다가갈 때의 극한을 묻는데 조건은 t를 1과 2 사이에 가둬 두고 있었어요. 문제를 처음부터 다시 풀고 조건과 극한 기호를 맞대 본 뒤 조건 하나만 바꿨습니다. 보기와 답 ② ½ 은 그대로예요. 고치기 전 판과 고친 판을 25쪽 모두 맞대어 보니 달라진 곳은 10번 조건뿐이었습니다. 이 노트는 그렇게 고치기까지 거친 과정을 차례대로 적은 기록입니다.

목차

1. 10번 조건에서 걸린 것
2. 문제를 처음부터 다시 풀었다
3. 조건과 극한 기호를 나란히 놓고
4. 왜 답을 그대로 두었나
5. 두 판을 맞대 보고 다시 올리기까지
6. 이 일로 굳힌 30초 검산

1. 10번 조건에서 걸린 것

“t→2+ 라고 써 있는데 t가 2보다 작으면 어떻게 다가가요?” 극한 단원에서 흔히 나오는 물음입니다. 이번에는 저희가 만든 샘플 10번이 바로 이 물음을 부르는 문제였어요.

올려 둔 미적분 03 무료 샘플을 9월 26일에 다시 살피다가 10번에서 걸렸습니다. 문제의 첫머리는 1 < t < 2 였어요. 그런데 마지막 줄이 묻는 것은 t가 2보다 큰 쪽에서 2로 다가갈 때의 극한입니다. 조건 안에 2보다 큰 t가 하나도 없으니 오른쪽 극한을 구할 값이 처음부터 없는 셈이죠.

답이 맞으니 그냥 넘어가기 쉬운 오류였습니다. 계산을 끝까지 밀고 가면 ½ 이 나오고 보기에도 ½ 이 있으니 대부분은 멈추지 않아요. 그런데 꼼꼼한 학생일수록 첫 줄의 1 < t < 2 와 마지막 줄의 t→2+ 를 나란히 놓고 멈춘 뒤 자기가 극한의 정의를 잘못 알고 있는 건 아닌지 의심하다가 풀던 흐름까지 놓치게 되겠죠. 틀린 것은 문제지인데 흔들리는 쪽은 가장 성실하게 읽은 학생이라 더 마음에 걸렸습니다.

그래서 답이 같더라도 조건을 그냥 둘 수는 없다고 판단했어요. 결과부터 말씀드리면 조건을 2 < t < 3 으로 바꿨고 고친 파일은 미적분 03 무료 샘플 쪽에 그대로 올라가 있습니다. 9월 18일에서 26일 사이에 받으신 분은 10번 조건만 2 < t < 3 으로 고쳐 읽으시면 됩니다. 다른 쪽은 한 글자도 바뀌지 않았어요. 조건 하나를 바꾸기 전에 무엇을 다시 풀고 맞춰 봤는지 아래에 차례로 적어 둡니다.

그림 3 · 고치기 전과 고친 뒤의 10번 첫 줄, 그대로 둔 것

2. 문제를 처음부터 다시 풀었다

조건이 틀렸다고 숫자만 바로 바꿀 수는 없었습니다. 문제를 어떤 뜻으로 짰는지 다시 짚어야 어디를 어떻게 고칠지 정할 수 있으니까요. 10번은 곡선 y = ln(x − 1) 위에 점 P(t, ln(t − 1))을 잡고 두 점 A(2, 0), B(0, −2)와 삼각형을 만드는 문제예요. 이 삼각형의 넓이를 S(t)라 할 때 S(t)를 (t − 2)²으로 나눈 값의 극한을 묻습니다.

먼저 t = 2 를 넣어 봤습니다. P는 (2, ln 1), 곧 (2, 0)이 되어 A와 겹쳐요. 삼각형이 납작하게 사라지니 넓이도 0이고 분모도 0입니다. 문제가 극한을 묻는 까닭이 바로 여기 있었어요.

넓이는 해설대로 직선 AB까지의 거리로 구했습니다. 직선 AB는 y = x − 2 이고 AB의 길이는 2√2 이니

\[S(t)=\frac12\cdot 2\sqrt2\cdot\frac{|t-2-\ln(t-1)|}{\sqrt2}=|(t-2)-\ln(t-1)|\]

가 나옵니다. 해설의 식만 믿지 않고 세 꼭짓점 좌표만으로 넓이를 구하는 신발끈 공식으로도 따로 계산해 봤어요. t를 1.01부터 3까지 0.01 간격으로 넣어 두 식을 견주었더니 차이는 가장 커도 0.00000000000000044였습니다. 계산기의 반올림 오차일 뿐 같은 식이니 넓이를 구하는 길에는 흠이 없었어요.

그림 1 · 곡선 y = ln(x−1)과 삼각형 PAB, x축 위 옛 조건과 고친 조건

3. 조건과 극한 기호를 나란히 놓고

넓이 식이 맞다는 것을 확인하고 나니 남은 의심은 조건 한 곳이었습니다. 그렇다면 t→2+ 의 작은 + 는 조건에게 무엇을 요구할까요? t가 2보다 큰 값들을 거치며 2로 다가간다는 뜻입니다. 이것을 오른쪽 극한이라 부르는데 오른쪽 극한이 서려면 조건이 정하는 t의 범위, 곧 정의역이 2 바로 오른쪽 값들을 품고 있어야 해요.

옛 조건 1 < t < 2 는 2의 왼쪽만 품고 있었습니다. 눈대중으로 끝내지 않으려고 두 구간에서 0.001 간격으로 999개씩 값을 뽑아 확인했어요. 옛 조건에서는 2보다 큰 t가 0개였고 고친 조건에서는 999개 전부가 2보다 컸습니다. 그림 1에서 분홍 띠와 청록 띠가 2를 사이에 두고 딱 갈라지는 모습이 이 결과를 그대로 보여 줍니다. 아래 그림 2의 분홍 곡선이 옛 조건이 품던 구간이에요.

• 옛 조건: 극한 기호와 정의역이 서로 다른 쪽을 가리켰다
• 고친 조건: 2 < t < 3 이면 t→2+ 가 지나갈 값이 모두 조건 안에 있다

그럼 새 조건의 3은 어디서 왔을까요? 3이라는 위쪽 끝에는 특별한 뜻이 없습니다. 2보다 조금이라도 큰 구간이면 오른쪽 극한은 서요. 그래서 옛 조건과 같은 폭 1을 오른쪽으로 한 칸 옮기는 쪽을 골랐습니다. 문제지의 모양을 가장 적게 흔드는 방법이었어요.

옮긴 조건이 문제의 뜻과 맞는지는 넓이를 계산해서 한 번 더 맞춰 봤습니다. 옛 조건 안에서는 t가 1 쪽으로 갈수록 ln(t − 1)이 끝없이 내려가 넓이가 커져요. t = 1.5 에서 0.1931 이던 넓이가 t = 1.1 이면 1.4026 까지 불어나죠. 고친 조건에서는 t가 2에서 3으로 가는 동안 넓이가 0에서 1 − ln 2, 곧 0.3069 까지만 자랍니다. 문제가 보려는 것은 넓이가 0으로 줄어드는 순간이고 그 순간을 오른쪽에서 지켜보려면 삼각형이 2의 오른쪽에 있어야 합니다. 고친 조건 쪽이 문제의 뜻과 맞았던 거예요.

4. 왜 답을 그대로 두었나

조건이 틀렸는데 답이 그대로라니 이상하게 들리실 수 있습니다. 고치기 전에 가장 먼저 따져 봐야 했던 것도 이 점이었어요. 답까지 바뀐다면 받으신 분들께 알려 드릴 내용이 달라지니까요. 따져 보니 이유는 이 함수가 2의 양쪽에서 같은 값으로 모이기 때문이었습니다.

t − 2 = u 로 두면 ln(t − 1) = ln(1 + u) 이고 이것을 u의 거듭제곱으로 펼치면 계산이 금방 끝납니다.

\(\frac{u-\ln(1+u)}{u^2}=\frac12-\frac u3+\frac{u^2}4-\cdots\)

u가 양수면 ½ 보다 조금 작고 음수면 조금 커요. 어느 쪽이든 u가 0으로 가면 뒤의 항들이 모두 사라지고 ½ 만 남습니다. 교과서 범위에서는 이 전개 대신 해설처럼 치환과 기본 극한으로 풀지만 값이 왜 양쪽에서 같은지는 이 식이 가장 빨리 보여 줘요. 식만으로 끝내지 않고 2 가까이의 값을 양쪽에서 하나씩 넣어 봤습니다.

다가가는 쪽	t	S(t) ÷ (t−2)²
오른쪽	2.1	0.468982
오른쪽	2.001	0.499667
오른쪽	2.0001	0.499967
왼쪽	1.9	0.536052
왼쪽	1.999	0.500334
왼쪽	1.9999	0.500033

데이터 해석

• 양쪽 값: 오른쪽은 아래에서, 왼쪽은 위에서 ½ 에 붙는다. 극한 기호의 방향이 틀려도 숫자는 같은 곳에 닿는다
• 고른 답: 옛 조건으로 풀던 학생도 왼쪽 극한 ½ 을 구해 ② 를 골랐을 것이다. 오답이 아닌 모순이라 눈에 덜 띄었다

그림 2 · S(t)를 (t−2)²으로 나눈 값, 양쪽 모두 ½ 로 모인다

그래서 조건만 고치고 답을 그대로 두었습니다. 사실 고칠 길은 둘이었어요. 극한의 방향을 t→2− 로 바꾸는 길도 있었지만 해설이 이미 「t → 2+ 일 때 t − 2 > ln(t − 1)」로 절댓값을 벗기고 있었습니다. 해설 쪽까지 손대는 것보다 문제의 첫 줄 하나를 바꾸는 편이 덜 흔들린다고 봤어요.

그렇다면 해설에는 흠이 없었을까요? 절댓값을 벗기는 부등식 t − 2 > ln(t − 1)은 사실 t = 2 만 빼면 언제나 참입니다. t − 2 − ln(t − 1)을 1과 3 사이에서 0.001 간격으로 계산하니 가장 작은 값이 t = 2 에서 0이었어요. 해설 자체는 처음부터 틀린 데가 없었습니다. 어긋난 것은 문제의 조건뿐이었어요.

5. 두 판을 맞대 보고 다시 올리기까지

고쳤다는 말만으로는 부족했습니다. 고치는 김에 다른 곳을 건드리지는 않았는지 확인해야 했으니까요. 그래서 9월 18일 판과 지금 올라가 있는 판을 25쪽을 한 쪽씩 모두 맞대 봤습니다. 달라진 곳은 딱 한 곳, 문제편 4쪽에 있는 10번의 조건이었어요.

• 바뀐 것: 1 < t < 2 → 2 < t < 3
• 그대로: 그림·극한식·보기 다섯 개·답 ② ½·해설 전부

그다음에는 같은 실수가 다른 문항에도 있는지 문제편의 다른 한쪽 극한을 다시 봤습니다. 10번을 포함해 + 방향 극한을 묻는 6문항을 모두 확인했더니 나머지 5문항은 t > 0 이나 0 < θ < π/2 처럼 극한이 다가가는 쪽을 조건이 제대로 품고 있었어요. 12번의 0 < θ < π/4 도 θ→0+ 와 짝이 맞습니다. 어긋난 것은 10번 하나뿐이었습니다. 받아 두신 파일이 어느 판인지는 10번 조건만 보면 가려져요.

올린 날부터 고친 날까지는 8일이 걸렸습니다. 그 사이 받으신 분께 따로 알려 드릴 길이 없어 이 노트를 씁니다. 틀린 채로 공부하신 시간이 있었다면 그 시간은 헛되지 않았어요. 앞에서 본 것처럼 왼쪽 극한을 구했어도 값은 같았으니까요.

이날 고친 것이 이것 하나만은 아니었습니다. 앞선 연구소 노트 02는 진단기의 소수점 처리를 고친 기록인데 같은 날 오전에 함께 고친 일이에요. 하나는 진단기의 소수점, 하나는 문제지의 조건이었어요.

카드 · 미적분 03 샘플 10번, 조건을 고쳤습니다

6. 이 일로 굳힌 30초 검산

돌아보면 10번의 모순은 문제를 끝까지 풀어서 드러난 게 아니었습니다. 조건과 마지막 줄의 극한 기호를 나란히 놓았을 때 보였죠. 그러니 이 검산은 계산 실력보다 읽는 순서의 문제예요. 극한 문제를 받으면 풀기 전에 조건부터 맞춰 보세요. 오래 걸리지 않습니다.

먼저 극한이 가는 값이 조건 구간의 끝에 닿는지 봅니다. 10번이라면 2가 조건의 끝이어야 해요. 이어서 + 면 오른쪽에, − 면 왼쪽에 조건 구간이 있는지 봅니다. 마지막으로 그 값을 식에 넣어 0 ÷ 0 꼴이 나오는지 확인하면 문제가 무엇을 겨냥했는지 보여요.

카드 · 극한 기호의 작은 부호, 조건과 짝이 맞나

짧게 줄이면 이래요. 끝이 맞는지, 방향이 맞는지, 0 ÷ 0 인지.

셋 중 하나라도 어긋나면 틀린 채로 밀고 가지 마십시오. 선생님께 물어보거나 출판사 정오표를 찾아보면 돼요. 시험장에서 이런 모순이 나올 일은 드물지만 연습 문제에서는 생기곤 합니다. 이번처럼 만드는 쪽에서도 놓칠 때가 있으니까요. 조건을 먼저 읽는 버릇은 킬러 문항의 함정 조건을 잡을 때도 그대로 쓰입니다.

카드 · 극한 문제 조건 30초 검산

이 단원이 극한에 얼마나 기대는지는 문항 해부 — 미적분 03 여러가지 함수의 미분에서 34문항을 하나씩 갈라 봤습니다. 샘플을 푸신 뒤 그 글로 이어 읽으시면 10번이 단원 안에서 어떤 유형인지 보입니다.

입시CUBE 교재수능특강 쌍둥이 변형 · 미적분수열의 극한·미분법·적분법 전 범위 237문항. 전 문항 독립 검산으로 정답 정합성 확인.표지를 누르면 교재 쪽으로 갑니다 →

연구소 도구

• 미적분 03 무료 샘플 — 10번을 고친 판
• LAB 문항 해부 — 미적분 03 여러가지 함수의 미분
• LAB 연구소 노트 02 — 탐구 평균 소수점을 고친 날
• 수능특강 쌍둥이 변형 · 미적분 (교재)

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연구 노트 · 고친 날과 바뀐 곳은 샘플 파일의 수정 기록과 두 판을 맞댄 결과로 확인했습니다. 넓이·극한값·표본 개수는 모두 값을 하나하나 넣어 다시 계산했습니다. 다른 문항과 판매 교재는 이번 비교에 넣지 않았습니다.

9월 18일에서 26일 사이에 샘플을 받으셨다면 지금 10번 첫 줄을 2 < t < 3 으로 고쳐 적으십시오.