“시그마 공식은 다 외웠어요” LEVEL 2부터는 일반항을 주지 않는다 — 가천대 약술형 논술 수열의 합 12문항 해부

연구 요약

무료로 공개한 가천대 약술형 논술 대비 수학Ⅰ-6 수열의 합과 수학적 귀납법 샘플(12문항)을 해설지의 채점 기준 36줄 단위로 다시 읽었습니다. 36줄은 모두 5점이고, 값을 내는 셋째 줄의 몫은 세 LEVEL 어디서나 같습니다. 달라지는 것은 문제가 일반항을 건네는 방식이에요. LEVEL 1은 여섯 문항 가운데 셋이 \(a_n\)을 식으로 바로 주지만, LEVEL 2·3 여섯 문항은 하나도 주지 않습니다. 대신 근과 계수의 관계, 판별식, 산술·기하 평균, 정적분, 정수의 개수 속에 일반항을 숨겨 두고, 그것을 꺼내는 줄이 첫 줄 5점이 됩니다. 부분분수·유리화 같은 꼴 바꾸기는 LEVEL 1에서 첫 줄이던 것이 둘째 줄로 밀려나요. 대표 문항의 풀이 뼈대와 감점 줄, 작은 \(n\)으로 하는 30초 검산을 정리하고 80분 13문항 시험에 맞춘 연습 순서를 제안합니다.

목차

1. 공식을 외웠는데 막히는 까닭
2. 채점표 36줄 — 꼴 바꾸기가 둘째 줄로 밀린다
3. LEVEL 1 — 공식은 맞게 쓰고 개수에서 틀린다
4. LEVEL 2 — 일반항이 방정식과 부등식 속에 있다
5. LEVEL 3 — 정적분과 정수의 개수가 수열을 만든다
6. 한 문항 6분, 작은 n으로 검산하는 연습

1. 공식을 외웠는데 막히는 까닭

“시그마 공식은 다 외웠어요.”

수열의 합 단원을 두고 흔히 나오는 말입니다. \(\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)도, 부분분수도 외웠는데 막상 약술형 문항 앞에서는 손이 멈춘다고 하죠. 무료 샘플의 LEVEL 2 문항 3이 바로 그런 경우예요. 구하라는 것은 등비수열의 합 93인데, 문제 어디에도 '등비수열'이라는 말이 없습니다. 주어진 것은 이차방정식이 중근을 갖는다는 조건 한 줄뿐이에요. 그래서 합 공식은 셋째 줄에 가서야 쓰고, 첫 줄 5점은 판별식에 걸려 있습니다.

이런 문항이 어떤 시험에 나오는지부터 짚어 보겠습니다. 가천대 약술형 논술은 80분 동안 13문항을 풉니다. 수학은 수학Ⅰ·Ⅱ 범위에서 풀이 과정을 서술하고, 문항당 10점씩 논술 130점에 기본점수 870점을 더해 1,000점 만점이에요. 출제 방식은 홈페이지 분석 글에 정리해 두었습니다.

그 범위 가운데 수학Ⅰ 마지막 단원인 수열의 합과 수학적 귀납법은 한 권을 떼어 무료 샘플로 공개해 두었습니다. 문제 12개에 모범 답안과 단계별 채점 기준이 붙어 있어요. 지난 가천대 편에서는 수학Ⅱ 정적분의 활용 샘플을 같은 방식으로 뜯어, LEVEL이 오를 때 첫 줄이 단원 밖으로 옮겨 간다는 것을 봤습니다. 이번 샘플도 겉모양은 닮았어요. 그런데 수열 단원에서는 옮겨 가는 이유가 하나 더 보입니다. 바로 일반항을 누가 만드느냐는 것이죠. 문제가 건네주는가, 답안이 만들어 내는가?

2. 채점표 36줄 — 꼴 바꾸기가 둘째 줄로 밀린다

이 물음에 답하려면 채점표를 봐야 합니다. 해설편에는 문항마다 단계별 채점 기준을 세 줄씩 붙여 두었는데, 12문항이니 36줄, 180점이고 이번 샘플은 36줄이 하나도 빠짐없이 5점이에요. (이 문항당 15점 기준은 저희 교재의 것이고 가천대가 공개한 채점 기준이 아닙니다. 실제 시험은 문항당 10점입니다.) 그래서 36줄을 무엇에 점수를 주는지에 따라 넷으로 갈랐습니다. 일반항이나 식을 합하기 좋은 꼴로 바꾸는 줄, 공식이나 조건을 대입하는 줄, 값을 내는 줄, 그리고 수열 단원 밖의 도구를 쓰는 줄입니다.

LEVEL	문항	배점	꼴 바꾸기	단원 밖 도구	대입	값
1 단원 기본 적용	6	90	25	0	35	30
2 지정 도구 융합	4	60	15	20	10	15
3 실전 심화 융합	2	30	10	10	0	10
합계	12	180	50	30	45	55

그림 1 · 채점표 36줄을 줄 순서대로 — LEVEL 2부터 꼴 바꾸기가 둘째 줄로

데이터 해석

• 꼴 바꾸기가 밀려난다: LEVEL 1에서 꼴 바꾸기 줄은 다섯 번 나오고 다섯 번 모두 첫 줄입니다. 그런데 LEVEL 2·3에서는 다섯 번 가운데 넷이 둘째 줄이에요. 앞에 새 줄이 하나 끼어든 겁니다.
• 새 줄은 단원 밖이다: 끼어든 줄은 근과 계수의 관계, 판별식, 산술·기하 평균, 정적분, 절댓값 부등식입니다. LEVEL 2·3 여섯 문항 모두 이런 도구를 하나씩 쓰고, 다섯 문항은 그것이 첫 줄이에요. 걸린 점수로 보면 LEVEL 1이 0점, LEVEL 2가 60점 중 20점, LEVEL 3이 30점 중 10점입니다.

이 모양은 처음 보는 것이 아닙니다. 정적분의 활용 편에서도 LEVEL 1의 단원 밖 점수는 0점이었고, LEVEL 2·3에서 첫 줄이 미분·수학Ⅰ로 옮겨 갔으니까요. 두 샘플이 같은 설계를 따른다는 뜻이에요. 다만 끼어든 줄이 하는 일은 다릅니다. 정적분 편에서는 적분 구간과 곡선을 만들었고, 이번에는 일반항을 만듭니다.

카드 · LEVEL 2부터 일반항을 주지 않는다

그렇다면 문항이 일반항을 어떻게 건네는지로 다시 세어 보면 어떨까요? 그림이 더 또렷해집니다. 일반항을 \(a_n=n^2+n\)처럼 식으로 바로 준 문항은 LEVEL 1에 셋이고, LEVEL 2·3에는 하나도 없습니다. 귀납적 정의로 준 문항이 넷(LEVEL 1 문항 5·6, LEVEL 2 문항 3, LEVEL 3 문항 2)이고, 나머지는 합만 주거나 방정식·부등식·정적분 속에 넣었어요. 한 가지 더, 단원 이름에 수학적 귀납법이 들어 있지만 이 샘플에 귀납법으로 증명하라는 문항은 없습니다. 대신 귀납적 정의를 읽고 항을 하나씩 만드는 문항이 그 몫을 맡고 있습니다.

3. LEVEL 1 — 공식은 맞게 쓰고 개수에서 틀린다

먼저 일반항을 건네받는 LEVEL 1부터 보겠습니다. 교재는 이 단계를 해당 단원의 기본 개념, 정의, 공식만으로 푸는 단계로 두고, 여섯 문항이 Σ의 성질, 거듭제곱의 합, 부분분수, 분모의 유리화, 등차 점화식, 점화식 대입을 하나씩 씁니다. 이 공식들을 모르는 학생은 드물어요. 그런데도 점수가 빠진다면, 그곳은 상수를 몇 번 더했는지, 끝 항이 무엇인지 같은 개수입니다.

LEVEL 1 문항 1·2 — 상수의 합은 상수가 아니다

문항 1은 \(\sum_{k=1}^{10}a_k=15\), \(\sum_{k=1}^{10}b_k=20\)일 때 \(\sum_{k=1}^{10}(2a_k-b_k+3)\)을 묻습니다. 문항 2는 \(a_n=n^2-4n+2\)일 때 \(\sum_{k=1}^{8}a_k\)를 묻고요.

\[\sum_{k=1}^{10}(2a_k-b_k+3)=2\cdot15-20+3\cdot10=40\]

\[\sum_{k=1}^{8}(k^2-4k+2)=\frac{8\cdot9\cdot17}{6}-4\cdot\frac{8\cdot9}{2}+2\cdot8=204-144+16=76\]

• 감점 줄: 둘째 줄 5점이 대입한 식입니다. \(\sum 3\)을 3으로 두면 문항 1은 13, \(\sum 2\)를 2로 두면 문항 2는 62가 나와요. 첫 줄의 분리는 맞았는데 둘째·셋째 줄 10점이 함께 빠집니다.
• 30초 검산: 문항 2는 항이 여덟 개뿐입니다. \(-1,-2,-1,2,7,14,23,34\)를 더하면 76이에요.

눈치채셨겠지만 두 문항 모두 상수항을 일부러 넣었습니다. 공식보다 개수를 보는 문항이라는 뜻이에요. 게다가 항을 열 개 이하로 두어 직접 나열로 검산할 수 있게 고른 것도 눈여겨볼 만합니다.

LEVEL 1 문항 3 — 부분분수는 길이를 재는 일

\(a_n=n^2+n\)일 때 \(\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{a_k}\)을 구합니다.

\[\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac{1}{k+1},\qquad \sum_{k=1}^{10}\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}\]

그림 2 · LEVEL 1 문항 3 — 열 조각을 이으면 1/11에서 1까지

• 감점 줄: 둘째 줄 5점이 소거한 뒤 남는 \(1-\frac{1}{11}\)입니다. 마지막 괄호의 뒷항을 \(\frac1{10}\)로 잘못 적으면 \(\frac{9}{10}\)가 나와요.
• 30초 검산: 이 합은 \(n\)항까지 \(\frac{n}{n+1}\)입니다. \(n=1\)이면 \(\frac12\), \(n=2\)이면 \(\frac12+\frac16=\frac23\)이 맞는지만 보십시오.

왜 이렇게 지워지는지는 그림 2가 보여 줍니다. 조각 하나의 길이를 두 눈금 \(\frac1{k+1}\)과 \(\frac1k\) 사이의 거리라고 보면, 조각을 이을 때 \(\frac1{11}\)에서 1까지 한 줄이 되니까요. 그래서 남는 것은 첫 항의 앞부분과 끝 항의 뒷부분뿐입니다.

LEVEL 1 문항 4 — 끝 항이 정수가 되도록 15항

\(a_n=\sqrt{n+1}+\sqrt n\)일 때 \(\sum_{k=1}^{15}\frac{1}{a_k}\)을 구합니다.

\[\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\sqrt{k+1}-\sqrt k,\qquad \sum_{k=1}^{15}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt k\right)=\sqrt{16}-1=3\]

그림 3 · LEVEL 1 문항 4 — √1에서 √16까지 열다섯 칸

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 유리화입니다. 둘째 줄에서 끝을 \(\sqrt{15}\)로 적으면 \(\sqrt{15}-1\approx2.87\)이 남아요.
• 30초 검산: 셋째 항까지만 더하면 \(\sqrt4-1=1\)입니다. 끝 항 \(\sqrt{k+1}\)의 \(k+1\)이 제곱수가 되는 곳에서 정수가 나와요.

항의 개수를 15로 고른 까닭도 여기 있습니다. \(\sqrt{16}=4\)라 답이 정수가 되는 거예요. 거꾸로 말하면, 답이 무리수로 남았을 때는 끝 항을 한 칸 덜 쓴 것입니다.

LEVEL 1 문항 5·6 — 더하는 횟수는 n − 1번

문항 5는 \(a_1=3\), \(a_{n+1}-a_n=4\)일 때 \(a_{10}\)을, 문항 6은 \(a_1=2\), \(a_{n+1}=a_n+2n\)일 때 \(a_5\)를 묻습니다.

\[a_n=3+(n-1)\cdot4=4n-1,\quad a_{10}=39\qquad\quad a_5=2+(2+4+6+8)=22\]

그림 4 · LEVEL 1 문항 5·6 — 점화식은 칸을 센다

• 감점 줄: 문항 5는 첫 줄 5점이 공차 4인 등차수열이라는 판단입니다. \(3+10\times4=43\)처럼 한 칸 더 가면 셋째 줄이 빠져요. 문항 6은 세 줄 모두 대입이라 \(n=1,2,3,4\)를 빠짐없이 적는 것이 점수입니다.
• 30초 검산: 문항 6의 항 \(2,4,8,14,22\)는 \(n^2-n+2\)와 같습니다. \(a_5\)까지 네 번 더했는지 세어 보십시오.

이때 문항 6은 모범 답안도 일반항을 구하지 않고 \(n=1\)부터 차례로 넣습니다. 채점 기준이 \(a_2,a_3\)에 5점, \(a_4\)에 5점, \(a_5\)에 5점을 걸어 두었으니 항을 하나씩 적는 답안이 가장 안전해요. 이렇게 귀납적 정의를 읽는 연습이 이 단원 수학적 귀납법의 첫걸음이기도 합니다.

카드 · 상수와 끝 항을 세십시오

4. LEVEL 2 — 일반항이 방정식과 부등식 속에 있다

LEVEL 1이 개수를 시험했다면, LEVEL 2는 일반항을 건네주지 않는 데서 시작합니다. 교재는 이 단계를 판별식, 산술·기하 평균, 최대·최소 같은 보조 도구를 수열에 결합하는 단계로 두고, 네 문항이 도구를 하나씩 씁니다. 문항 1은 근과 계수의 관계, 문항 2는 완전제곱식, 문항 3은 판별식, 문항 4는 산술·기하 평균이에요. 이 가운데 문항 2만 도구가 셋째 줄에 있고, 나머지 셋은 첫 줄에서 일반항이나 특정 항을 꺼냅니다.

LEVEL 2 문항 1 — 첫 줄을 넘기면 LEVEL 1 문항 3

이차방정식 \(x^2-(2n+1)x+n(n+1)=0\)의 두 근 \(\alpha_n,\beta_n\)에 대해 \(a_n=\alpha_n\beta_n\)일 때 \(\sum_{k=1}^{10}\frac1{a_k}\)을 구합니다.

\[\alpha_n\beta_n=n(n+1)\;\Rightarrow\;\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{10}{11}\]

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 두 근의 곱입니다. 합 \(2n+1\)을 쓰면 \(\sum\frac{1}{2k+1}\)이 되어 소거가 일어나지 않아요.
• 30초 검산: 답이 LEVEL 1 문항 3과 같습니다. 두 근이 \(n\)과 \(n+1\)이라는 것도 \(n=1\)을 넣으면 1과 2로 바로 보여요.

보시다시피 첫 줄만 새로 쓰면 뒤 두 줄은 LEVEL 1 문항 3 그대로입니다. 그러니 LEVEL 2의 난도는 합 계산보다 일반항을 꺼내는 한 줄에 있고, 이 문항이 그것을 가장 선명하게 보여 줍니다.

LEVEL 2 문항 2 — 제곱의 합은 음수가 될 수 없다

\(\sum_{k=1}^{5}a_k=15\), \(\sum_{k=1}^{5}a_k^2=55\)일 때 \(f(x)=\sum_{k=1}^{5}(x-a_k)^2\)의 최솟값을 구합니다.

\[f(x)=5x^2-2x\cdot15+55=5(x-3)^2+10\;\Rightarrow\;\text{최솟값 }10\]

그림 5 · LEVEL 2 문항 2 — 제곱의 합은 0 아래로 내려가지 않는다

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 전개와 분리이고, 여기서 \(\sum_{k=1}^{5}x^2=5x^2\)을 \(x^2\)으로 두는 실수가 가장 흔합니다. 그러면 \(x^2-30x+55\)의 최솟값 \(-170\)이 나와요.
• 30초 검산: \(f(x)\)는 제곱의 합이라 0 아래로 내려갈 수 없습니다. 조건은 \(a_k=1,2,3,4,5\)로도 맞으니 \(x=3\)을 넣어 \(4+1+0+1+4=10\)을 확인하십시오.

결국 이 문항이 묻는 것은 \(x\)가 합의 기호 안에 있어도 \(k\)와 상관없는 상수라는 사실입니다. 이렇게 보면 최솟값을 주는 \(x=3\)은 다섯 수의 평균이고, 최솟값 10은 평균에서 떨어진 거리의 제곱을 모은 값이에요. 그러니 음수가 나왔다면 계산을 다시 하기 전에 \(\sum x^2\)부터 보십시오.

LEVEL 2 문항 3 — '등비'라는 말 없이 등비수열

\(a_1=3\), \(a_2=6\)이고 모든 \(n\)에 대해 \(a_nx^2-2a_{n+1}x+a_{n+2}=0\)이 중근을 가질 때(\(a_n>0\)) \(\sum_{k=1}^{5}a_k\)를 구합니다.

\[\frac D4=a_{n+1}^2-a_na_{n+2}=0\;\Rightarrow\;a_{n+1}^2=a_na_{n+2},\quad r=2,\quad \sum_{k=1}^{5}a_k=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\]

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 판별식에서 \(a_{n+1}^2=a_na_{n+2}\)를 끌어내는 것입니다. 이 식이 등비중항이라는 것을 적어야 둘째 줄이 섭니다.
• 30초 검산: 다섯 항뿐이니 \(3+6+12+24+48=93\)을 나열하십시오. 여섯 항까지 더하면 189가 나와요.

LEVEL 2 문항 4 — 다섯 항의 합은 가운데 항의 다섯 배

등차수열에서 \(a_1=2\), \(a_3>0\)이고 \(a_3+\frac{36}{a_3}\)이 최솟값을 가질 때 \(\sum_{k=1}^{5}a_k\)를 구합니다.

\[a_3+\frac{36}{a_3}\ge2\sqrt{36}=12,\ \text{등호는 } a_3=6\;\Rightarrow\;d=2,\quad \sum_{k=1}^{5}a_k=30\]

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 등호 성립 조건입니다. 최솟값 12만 적고 \(a_3=6\)을 밝히지 않으면 둘째 줄로 넘어갈 근거가 없어요.
• 30초 검산: 등차수열 다섯 항의 합은 가운데 항의 다섯 배입니다. \(5\times6=30\)이라, 공차를 구하지 않아도 답이 먼저 보입니다.

출제자가 묻는 항을 \(a_3\)으로 고른 까닭도 이 검산에 있습니다. 다섯 항의 가운데가 \(a_3\)이니까요. 그런데 모범 답안은 공차를 구해 합 공식에 넣고, 채점 기준도 공차에 5점을 걸었습니다. 그래서 답안에는 \(d=2\)를 쓰고 검산에만 \(5a_3\)을 쓰십시오.

카드 · 30초 검산표

5. LEVEL 3 — 정적분과 정수의 개수가 수열을 만든다

LEVEL 3에서는 일반항을 숨기는 곳이 단원 밖으로 더 멀리 나갑니다. 교재는 이 단계를 고교 수학 전 범위를 섞는 최고 난도 단계로 두는데, 두 문항 모두 첫 줄이 수열 단원 밖에서 일반항을 만들어요. 문항 1은 수학Ⅱ 정적분, 문항 2는 절댓값 부등식과 정수의 개수입니다.

LEVEL 3 문항 1 — 넓이를 뒤집으면 k² + k

\(a_n=\int_0^1x^{n-1}(1-x)\,dx\)일 때 \(\sum_{k=1}^{8}\frac1{a_k}\)을 구합니다.

\[a_n=\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{1}{n(n+1)},\qquad \sum_{k=1}^{8}\frac1{a_k}=\sum_{k=1}^{8}(k^2+k)=204+36=240\]

그림 6 · LEVEL 3 문항 1 — 넓이 a_n과 뒤집은 1/a_n

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 정적분입니다. \(x^{n-1}\cdot x=x^n\)으로 전개해 두 항을 따로 적분해야 해요. 둘째 줄에서 역수를 놓치고 \(\sum a_k\)를 계산하면 LEVEL 1 문항 3과 같은 꼴로 \(\frac89\)가 나옵니다.
• 30초 검산: \(n=1\)이면 \(\int_0^1(1-x)\,dx=\frac12\)이고 \(\frac{1}{1\cdot2}\)와 같습니다. 합은 \(\sum k(k+1)=\frac{8\cdot9\cdot10}{3}=240\) 한 줄로 확인돼요.

재미있는 것은 셋째 줄에 나오는 204와 36이 LEVEL 1 문항 2에서 이미 구한 \(\sum_{k=1}^{8}k^2\), \(\sum_{k=1}^{8}k\)라는 점입니다. 부분분수 꼴 \(\frac1n-\frac1{n+1}\)이 적분에서 저절로 나오는 것도 LEVEL 1 문항 3을 떠올리게 하고요. 게다가 정적분 편에서는 LEVEL 3 문항 2가 적분 뒤에 시그마를 붙였는데, 이번에는 반대로 시그마 앞에 적분을 붙였습니다. 두 단원을 잇는 문항이 양쪽 샘플에 하나씩 들어 있는 셈이에요.

LEVEL 3 문항 2 — 구간의 왼쪽 끝은 늘 1

\(a_1=3\)이고 \(a_{n+1}\)은 부등식 \(|x-a_n|\le2^n\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수일 때 \(\sum_{k=1}^{8}a_k\)를 구합니다.

\[a_n-2^n\le x\le a_n+2^n\;\Rightarrow\;a_{n+1}=2\cdot2^n+1=2^{n+1}+1,\qquad a_1=3=2^1+1\;\Rightarrow\;a_n=2^n+1\]

\[\sum_{k=1}^{8}(2^k+1)=\frac{2(2^8-1)}{2-1}+8=510+8=518\]

그림 7 · LEVEL 3 문항 2 — 정수의 개수가 다음 항이 된다

• 감점 줄: 첫 줄 5점이 정수의 개수 \(2^{n+1}+1\)입니다. 양 끝이 정수라 \(+1\)이 붙는데, 이것을 빼면 수열 전체가 틀어져요. 둘째 줄 5점은 \(a_1=3\)도 \(2^n+1\)에 맞는지 확인하는 한 마디이고, 셋째 줄에서 \(+1\) 여덟 개를 빼먹으면 518이 아닌 510이 나옵니다.
• 30초 검산: \(n=1\)이면 \(|x-3|\le2\)에서 정수 1~5, 다섯 개입니다. \(a_1\)부터 \(3,5,9,17\)이 \(2^n+1\)과 맞는지 네 항만 보십시오.

그림 7을 보면 이 문항의 설계가 드러납니다. \(a_n-2^n=1\)이라 구간은 늘 1에서 시작하고 오른쪽 끝만 두 배씩 멀어져요. 그런데 점화식 \(a_{n+1}=2^{n+1}+1\)은 \(n\ge1\)에서 나온 것이라 \(a_1\)은 따로 맞춰 봐야 합니다. 채점 기준이 이 확인에 한 줄을 준 까닭이 여기 있고, 수학적 귀납법이 이 단원에 함께 묶인 까닭도 여기서 보입니다.

컨설턴트의 시선

• 일반항을 먼저 적는다: LEVEL 2·3 여섯 문항 가운데 다섯은 첫 줄이 일반항이나 특정 항을 꺼내는 줄입니다. 합 공식부터 적지 말고 \(a_n=\cdots\) 한 줄을 먼저 쓰십시오. 그 줄이 5점이고, 뒤 두 줄은 대부분 LEVEL 1에서 한 번씩 해 본 계산이에요.
• 개수는 작은 n으로 센다: 상수의 합, 끝 항, 더하는 횟수, \(+1\)의 개수에서 점수가 빠집니다. 공식 값을 옮겨 쓰기 전에 \(n=1,2\)를 넣은 값과 맞춰 보십시오.

6. 한 문항 6분, 작은 n으로 검산하는 연습

그렇다면 실제 시험에서는 이 세 줄을 얼마 만에 써야 할까요? 80분에 13문항이면 한 문항에 6.15분입니다. 샘플의 한 문항은 채점 줄이 셋이니 줄마다 2분꼴이에요.

줄	쓰는 것	LEVEL이 오르면
첫 줄	일반항 만들기 (근과 계수·판별식·정적분 …)	새로 생긴다
둘째 줄	부분분수·유리화·등차·등비로 꼴 바꾸기	첫 줄에서 밀려 온다
셋째 줄	공식에 대입해 값, 작은 \(n\)으로 검산	그대로

카드 · 한 문항 6분, 줄은 셋

이 표를 손에 익히는 연습은 따로 시간을 떼기가 쉽지 않습니다. 시험이 수능 뒤라 약술형 연습은 수능 공부와 나란히 가야 하니까요. 그래서 순서를 이렇게 권합니다.

1. 무료 샘플 12문항을 LEVEL 순서대로, 한 문항 6분 타이머로 푸십시오. 채점은 해설지의 채점 기준대로 줄 단위로 매깁니다.
2. LEVEL 1에서 점수를 잃었다면 공식이 아닌 개수 문제일 가능성이 큽니다. 상수·끝 항·더하는 횟수를 카드 한 장에 적어 두고 다시 풉니다.
3. LEVEL 2·3에서 첫 줄을 잃었다면 그 도구의 단원으로 돌아가십시오. 근과 계수·판별식·산술기하·절댓값 부등식은 고1 수학, 정적분은 수학Ⅱ입니다. 수열의 합 자체를 60제로 더 연습하려면 수학Ⅰ-6 시그마·수학적 귀납법 교재가 이 샘플의 본편이에요.
4. 수학Ⅰ 여러 단원이 함께 흔들린다면 지수·로그부터 수학적 귀납법까지 묶은 수학Ⅰ 전단원 풀패키지(6권 360제)가 한 번에 다룹니다.
5. 답을 옮겨 쓰기 전에 작은 \(n\) 검산을 매 문항 붙이십시오. 공식 값과 나열한 값이 다르면 둘째 줄부터 다시 봅니다.

그리고 정적분의 활용과 수열의 합을 이어서 보려면 문항 해부 02를 함께 읽으십시오.

입시CUBE 교재가천대 약술형 · 수학Ⅰ-6 시그마·수학적 귀납법수열의 합과 귀납적 정의, 단원 하나를 60제로. 약술형 서술 답안까지 한 권에.표지를 누르면 교재 쪽으로 갑니다 →

연구소 도구

• 수Ⅰ-6 시그마·수학적 귀납법 샘플 — 12문항·해설·채점 기준 (무료 PDF)
• 수Ⅱ-7 정적분의 활용 샘플 (무료 PDF)
• 가천대·국민대 약술형 논술 — 출제 방식 비교(홈페이지)
• 논술 진단기 — 고사일 겹침 확인
• 문항 해부 02 — 가천대 약술형 정적분의 활용 12문항
• 가천대 약술형 · 수학Ⅰ-6 시그마·수학적 귀납법 (60제)

연구 노트 · 자료는 가천대 약술형 논술 대비 수학Ⅰ-6 수열의 합과 수학적 귀납법 샘플의 문제 12개, 모범 답안, 단계별 채점 기준입니다. 채점 기준(문항당 15점)은 저희 교재의 것이며 가천대 공식 기준이 아닙니다. 36줄을 꼴 바꾸기·단원 밖 도구·대입·값으로 나눈 것은 연구소의 분류이고, 열두 답은 분수 계산과 항을 하나씩 더하는 스크립트로 한 번 더 확인했습니다. 시험 시간·문항 수·배점은 홈페이지 분석 글이 정리한 2027 가천대 논술고사 개요를 따릅니다.

공식은 이미 외웠습니다. 남은 연습은 합의 기호 앞에서 일반항을 꺼내는 첫 줄에 쓰십시오.