“미분 단원인데 극한만 풀었어요” 34문항 중 17문항이 극한 — 수능특강 쌍둥이 미적분 03 여러가지 함수의 미분 문항 해부
연구 요약
무료로 공개한 수능특강 쌍둥이 미적분 03 여러가지 함수의 미분 샘플의 본문항 34개와 예상 적중 문제 4개를 한 문항씩 다시 풀었습니다. 먼저 34문항이 무엇을 묻는지 여섯 갈래로 나눴더니, 단원 이름은 미분인데 17문항이 극한이었어요. 지수·로그 기본 극한 8, 삼각 기본 극한 4, 도형에 극한을 얹은 문항 5입니다. 이어서 학생이 흔히 놓치는 곳 16가지를 골라, 한 곳만 틀린 채로 끝까지 계산해 보았습니다. 그 가운데 8가지는 다른 선지에 그대로 닿았고, 5가지는 선지에 없는 값이 나와 스스로 드러났으며, 3가지는 틀려도 정답이 나왔습니다. 갈래마다 대표 문항의 풀이 뼈대와 감점 줄, 30초 검산을 정리하고, 샘플 한 단원으로 할 수 있는 연습 순서를 제안합니다.
목차
- 미분 단원인데 극한이 절반
- 지수·로그 극한 여덟 문항 — 0 근처의 기울기 비
- 삼각 극한 — ½ 하나가 다른 선지로
- 도형과 극한 — 넓이를 식으로 적는 한 줄
- 도함수 — 틀려도 정답이 나오는 문항
- 맞힌 문항까지 다시 쓰는 연습
1. 미분 단원인데 극한이 절반
“미분 단원인데 극한만 풀었어요.”
수능특강 미적분 셋째 단원을 끝낸 학생에게서 흔히 나오는 말입니다. 단원 이름이 여러가지 함수의 미분이니 도함수를 구하는 연습을 기대했는데, 막상 펼쳐 보면 \(\lim\) 기호가 계속 나온다는 거죠. 그 느낌이 맞는지 세어 보기로 했습니다.
재료는 미적분 03 무료 샘플입니다. 수능특강의 문항 배열을 따라 숫자와 조건을 바꾼 쌍둥이 34문항에, 수야T 예상 적중 문제 4문항이 붙어 있어요. 해설은 문항마다 발상 한 줄로 시작하는데, 그 줄을 참고해 34문항을 무엇을 묻는지에 따라 여섯 갈래로 나눴습니다.
| 갈래 | 문항 수 | 샘플 속 번호 |
|---|---|---|
| 지수·로그 기본 극한 | 8 | 1, 2, 3, 16, 17, 21, 25, 28 |
| 삼각 기본 극한 | 4 | 11, 18, 26, 33 |
| 도형 + 극한 | 5 | 10, 12, 20, 29, 32 |
| 도함수·접선 | 11 | 5, 13, 14, 15, 19, 22, 23, 27, 30, 31, 34 |
| 덧셈정리·삼각방정식 | 3 | 7, 8, 9 |
| 지수·로그 함수 자체 | 3 | 4, 6, 24 |
데이터 해석
- 극한이 절반이다: 위 세 갈래를 더하면 17문항, 정확히 절반입니다. 도함수를 직접 구하는 문항은 11개로 그보다 적어요.
- 극한은 흩어져 있다: 그림 1에서 진한 칸은 1번부터 33번까지 고르게 섞여 나옵니다. 앞쪽에 극한을 몰아 두고 뒤에서 미분을 하는 배열이 아니라서, 단원을 끝까지 풀어도 극한 감각을 놓을 틈이 없습니다.
그렇다면 왜 미분 단원에 극한이 이렇게 많을까요? 이 단원에서 새로 배우는 도함수 \((e^x)'=e^x\), \((\ln x)'=\frac1x\), \((\sin x)'=\cos x\)가 모두 극한 세 개에서 나오기 때문입니다. \(\frac{e^x-1}{x}\to1\), \(\frac{\ln(1+x)}{x}\to1\), \(\frac{\sin x}{x}\to1\)이 그것이에요. 그래서 수능특강은 도함수보다 그 도함수를 만든 극한을 먼저, 더 많이 묻습니다. 앞선 쌍둥이 복습법 글이 같은 샘플에서 숫자만 바뀐 두 문항을 나란히 놓았다면, 이번에는 34문항 전체가 어디서 점수를 잃게 만드는지를 봅니다.
2. 지수·로그 극한 여덟 문항 — 0 근처의 기울기 비
지수·로그 기본 극한 여덟 문항은 겉모양이 제각각이지만 묻는 것은 하나예요. 0 근처에서 \(e^{ax}-1\)은 \(ax\)처럼, \(\ln(1+bx)\)는 \(bx\)처럼 움직이니 분자와 분모의 기울기 비만 읽으면 됩니다.
16번 — 거꾸로 세우면 선지에 없다
\(\lim_{x\to0}\frac{e^{4x}-1}{\ln(1+ax)}=2\)일 때 상수 \(a\)를 구합니다.
- 감점 줄: 비를 거꾸로 세워 \(\frac a4=2\)로 두는 줄입니다. 그러면 \(a=8\)이 나오는데, 선지가 1부터 5까지라 여기서는 스스로 드러나요.
- 30초 검산: \(a=2\)를 넣으면 분모가 \(\ln(1+2x)\)이고, 그림 2의 두 직선 기울기 4와 2의 비가 곧 2입니다.
25번도 같은 뼈대입니다. \(f(0)=\lim\frac{a(e^{2x}-1)}{\ln(1+3x)}=\frac{2a}{3}=4\)에서 \(a=6\)이 나와요. 연속이라는 말이 붙었을 뿐, 한 줄을 넘지 않습니다.
1번 — 숨은 함수의 기울기를 먼저 꺼낸다
\(\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{f(x)}=4\)일 때 \(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\ln(1+2x)}\)를 구합니다. 이 문항은 \(f(x)\)가 식으로 주어지지 않아서 한 단계가 더 있습니다.
- 감점 줄: 첫 줄에서 분자의 3을 빠뜨려 \(f(x)\approx\frac x4\)로 두면 \(\frac18\)이 나오고, 이 값은 ①번 선지에 그대로 있습니다.
- 30초 검산: \(f(x)=\frac34x\)를 조건 식에 되넣어 \(\frac{3x}{3x/4}=4\)가 나오는지 봅니다.
16번과 1번은 같은 갈래인데 틀렸을 때의 모습이 다릅니다. 16번의 실수는 선지 밖으로 튀어 나가 알려 주지만, 1번의 실수는 멀쩡한 선지 하나에 내려앉아요. 숨은 함수를 거치는 문항일수록 실수가 조용합니다.
17번·21번·28번 — 기본 꼴이 바로 보이지 않을 때
17번은 \(xf(x)=2e^{3x}+b\)에서 시작합니다. \(x=0\)을 넣으면 \(0=2+b\)라서 \(b=-2\)이고, 그러면 \(f(x)=\frac{2(e^{3x}-1)}{x}\)이니 \(c=f(0)=6\), \(b+c=4\)예요. 첫 줄이 극한이 아니라 \(x=0\)을 넣는 대입이라는 점이 이 문항의 문턱입니다.
21번 \(\lim\frac{e^{3x}+e^{-3x}-2}{x^2}\)는 분자를 \(\frac{(e^{3x}-1)^2}{e^{3x}}\)로 묶어야 기본 꼴이 두 번 나와 \(3\times3=9\)가 됩니다. 두 항을 따로 \(x^2\)으로 나누면 각각 발산하니 묶는 줄에서 멈추게 되죠. 28번 \(\lim\frac{e^{x^2+3x}-1}{x^2+x}\)도 지수의 \(x^2+3x\)를 그대로 한 덩이로 보면 \(\frac{x^2+3x}{x^2+x}\to3\)으로 끝납니다.
3. 삼각 극한 — ½ 하나가 다른 선지로
지수·로그 극한이 기울기 비라면, 삼각 극한 네 문항은 \(1-\cos\square\approx\frac{\square^2}{2}\) 하나에 걸려 있습니다. 해설은 켤레 \((1+\cos\square)\)를 곱해 \(\sin^2\)로 바꾸는 길을 보여 주는데, 결국 남는 것은 분모의 2예요.
26번 — ½을 빠뜨리면 ②번
\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos kx}{x\sin2x}=8\)인 양수 \(k\)를 구합니다.
- 감점 줄: \(1-\cos kx\approx k^2x^2\)으로 두면 \(\frac{k^2}{2}=8\), \(k=4\)가 나오고, 4는 ②번 선지입니다. 정답 ③ \(4\sqrt2\) 바로 옆이에요.
- 30초 검산: 선지에 \(4\sqrt2\)처럼 무리수가 하나만 끼어 있으면 \(k^2\)을 거친 답인지 한 번 의심해 보십시오.
33번 \(\lim\frac{\ln(1+4x^2)}{1-\cos x}\)도 똑같이 걸립니다. 정답은 \(\frac{4x^2}{x^2/2}=8\)인데, ½을 빠뜨리면 4가 나와 역시 ②번에 닿아요. 18번 \(\lim\frac{x\tan3x}{1-\cos2x}=\frac32\)는 반대로 분자의 3을 놓치는 쪽이 위험합니다. \(\tan3x\)를 \(x\)로 두면 \(\frac12\), ①번이죠.
반면 11번 \(\lim\frac{1-\cos2x}{x\sin3x}=\frac23\)에서 안의 2를 빠뜨려 \(1-\cos2x\approx\frac{x^2}{2}\)로 두면 \(\frac16\)이 나오는데, 이 값은 선지에 없습니다. 같은 ½ 계열의 실수라도 어느 선지에 떨어지느냐는 문항마다 다릅니다. 그러니 선지에 답이 있다고 안심할 근거가 되지 못해요.
4. 도형과 극한 — 넓이를 식으로 적는 한 줄
도형 문항 다섯 개는 그림이 크고 문장이 길어서 어렵게 보입니다. 그런데 넓이를 \(t\)나 \(\theta\)의 식으로 한 줄 적고 나면, 남는 것은 2장·3장의 기본 극한이에요. 20번과 29번은 로그 곡선 아래 삼각형 넓이를 \(t^2\)으로 나누는 쌍둥이라 앞선 글에서 이미 다뤘고, 여기서는 10번과 12번을 봅니다.
10번 — 직선 AB가 곧 접선이다
\(2<t<3\)에서 곡선 \(y=\ln(x-1)\) 위의 점 \(P(t,\ln(t-1))\)과 두 점 \(A(2,0)\), \(B(0,-2)\)로 만든 삼각형 넓이 \(S(t)\)에 대해 \(\lim_{t\to2+}\frac{S(t)}{(t-2)^2}\)를 구합니다. (처음 공개한 파일에는 \(t\)의 범위가 \(1<t<2\)로 적혀 극한과 어긋났고, 지금 파일은 고쳐 두었습니다. 답 ½은 같아요.)
- 감점 줄: \(\ln(1+u)\approx u\)까지만 쓰면 분자가 0이 되어 손이 멈춥니다. (t − 2)²로 나누라는 말은 첫째 차수가 지워진다는 신호예요.
- 30초 검산: \(u=0.1\)을 넣으면 0.4690, \(u=0.01\)이면 0.4967로 ½에 다가갑니다.
이 문항에서 눈여겨볼 것은 직선 AB의 정체입니다. \(y=x-2\)는 곡선 \(y=\ln(x-1)\)의 \(x=2\) 접선이에요. 기울기가 \(\frac{1}{2-1}=1\)이고 \((2,0)\)을 지나니까요. 그러니 넓이는 곡선과 접선 사이의 틈이고, 틈은 둘째 차수부터 벌어지니 \((t-2)^2\)으로 나누는 겁니다. 해설은 점과 직선 사이의 거리로 넓이를 세우고 로그 근사로 마무리하는데, 접선이라는 것을 먼저 알아보면 분모가 왜 제곱인지가 납득됩니다.
12번 — 도형을 걷어 내면 1 − cos θ
지름 2인 반원에서 \(\angle PAB=\theta\), \(\angle QAB=\frac\theta2\)로 두 점을 잡고, 두 삼각형 넓이 \(S(\theta)\), \(T(\theta)\)로 \(\lim\frac{T-S}{\theta^2T}\)를 구하는 문항입니다.
- 감점 줄: 두 넓이를 따로 구하려 드는 줄입니다. 두 삼각형은 꼭짓점 Q를 같이 쓰고 밑변이 한 직선 BP 위에 있으니 넓이 비가 곧 밑변 비예요. AR이 \(\angle PAB\)의 이등분선이라 그 비는 \(\frac{AP}{AB}\)가 됩니다.
- 30초 검산: 좌표로 두 넓이를 직접 재 보니 \(\theta=0.1\)에서 \(\frac ST=0.995004\)로 \(\cos0.1\)과 소수 여섯 번째 숫자까지 같았습니다.
도형을 걷어 내면 3장의 \(\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\)가 남는다는 점이 이 문항의 설계입니다. 그래서 여기서도 ½을 빠뜨리면 1, 곧 ③번에 닿아요. 32번도 각의 이등분선 정리로 \(OQ=\frac{2t}{2+\sqrt{4+t^2}}\)를 적는 한 줄이 전부이고, 그 뒤는 \(t\to0\)에서 \(\frac12\)이 나오는 계산입니다.
5. 도함수 — 틀려도 정답이 나오는 문항
도함수·접선 11문항에서는 조금 다른 일이 생깁니다. 계산을 틀렸는데 정답이 나오는 문항이 있어요. 채점에서는 맞았으니 넘어가지만, 같은 실수를 다른 문항에서 하면 그때는 틀립니다.
31번 — m + n은 미분하지 않아도 나온다
곡선 \(y=xe^{2x}\) 위의 점 \((1,e^2)\)에서의 접선이 \(y=mx+n\)일 때 \(m+n\)을 구합니다.
- 감점 줄: 곱의 미분에서 \(e^{2x}\)의 미분에 2를 빠뜨려 \(m=2e^2\)로 두는 줄입니다. 그런데 그러면 \(n=-e^2\)이 되어 합은 그대로 e², 정답이 나옵니다.
- 30초 검산: \(m+n\)은 \(y=mx+n\)에 \(x=1\)을 넣은 값입니다. 접선은 \((1,e^2)\)을 지나니 답은 처음부터 \(e^2\)이에요.
이 문항이 묻는 값은 미분 없이도 정해지는 값입니다. 그러니 31번을 맞혔다고 곱의 미분이 맞았다는 보장은 없어요. 19번도 비슷합니다. \(f(x)=(3x-6)e^{2x}\)의 \(x\)절편 \(A(2,0)\)에서는 곱의 미분 뒤 항에 \(3x-6=0\)이 곱해져 사라지니, 2를 빠뜨려도 기울기는 \(3e^4\)로 같습니다. 8번은 \(\sqrt3\sin x=\cos x\)를 \(\tan x=\sqrt3\)으로 뒤집어 풀어도 두 해의 차가 tan의 주기 π로 같아요.
22번·15번·5번 — 같은 실수, 다른 결과
반대로 같은 합성함수 실수가 오답 선지에 닿는 문항도 있습니다. 22번 \(f(x)=e^{2x}-4x\)의 최솟값 위치는 \(2e^{2x}=4\)에서 \(x=\frac12\ln2\)인데, 2를 빠뜨리면 \(e^{2x}=4\), \(x=\ln2\)로 ③번에 닿습니다. 15번 \(f(x)=a\ln(x^2+2)\)는 안쪽 \(2x\)를 빠뜨리면 두 기울기가 \(\frac a3\)으로 같아져 곱이 \(-1\)이 될 수 없어요. 답이 없다는 것이 곧 실수의 신호인 경우입니다. 5번은 \(\cos\)의 미분 부호를 틀리면 \(\frac{5\pi}{6}\)이 나와 선지에 없고요.
연구소가 고른 16가지 실수를 하나씩 넣어 끝까지 계산한 결과를 모으면 이렇습니다.
| 틀린 값이 가는 곳 | 가짓수 | 문항 |
|---|---|---|
| 오답 선지에 닿는다 | 8 | 1, 18, 26, 33, 22, 34, 24, 적중 4 |
| 선지에 없다 | 5 | 11, 15, 5, 10, 9 |
| 정답이 그대로 나온다 | 3 | 19, 31, 8 |
컨설턴트의 시선
- 선지에 있다고 안심하지 않는다: 16가지 가운데 8가지가 오답 선지에 그대로 닿았습니다. 34번의 대칭형 극한은 2를 빠뜨리면 \(\frac43\), ③번이고 24번은 평행이동을 \(x+1\)로 하면 \(\log_2\frac43\), ②번입니다. 계산이 끝나고 선지에 값이 있어도 한 줄 검산을 붙이십시오.
- 맞힌 문항도 다시 본다: 3가지는 틀린 채로 정답이 나왔습니다. 31·19·8번은 맞혔더라도 풀이의 미분 한 줄을 다시 써 보고, 해설과 같은지 확인하십시오. 숨은 실수는 다른 문항에서 반드시 값을 치릅니다.
6. 맞힌 문항까지 다시 쓰는 연습
그렇다면 샘플 한 단원으로 무엇을 하면 좋을까요? 채점표가 따로 없는 5지선다라서, 점수를 잃는 곳을 스스로 찾아야 합니다. 순서를 이렇게 권합니다.
- 무료 샘플 34문항을 번호 순서대로 푸십시오. 문항당 3분을 기준으로 잡되, 이것은 연습용 제안입니다.
- 틀린 문항은 그림 7의 16가지에 대 보십시오. 대부분 계수 하나, ½ 하나, 안쪽 미분 하나에서 갈립니다.
- 극한 17문항만 따로 한 번 더 푸십시오. 기울기 비와 \(\frac{\square^2}{2}\) 두 가지만 손에 붙으면 이 단원 절반이 정리됩니다.
- 맞힌 31·19·8번은 풀이를 다시 써 보십시오. 정답이 실수를 가려 주는 문항이라, 맞혔다는 사실만으로는 알 수 없어요.
- 예상 적중 4문항으로 마무리하십시오. 4번은 \(\lim\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=4f'(2)\)에서 \(3-1=2\)로 세면 16, ①번에 닿는 문항이라 2장의 검산을 그대로 써먹을 수 있습니다.
한 단원이 몸에 맞았다면, 같은 방식으로 수열의 극한부터 적분법까지 이어 가면 됩니다. 수능특강 쌍둥이 미적분은 전 범위 237문항을 모두 독립 검산으로 맞춰 둔 본편이에요. 그리고 쌍둥이 문항을 원본과 나란히 읽는 방법은 쌍둥이 읽는 법에 따로 정리해 두었습니다.
입시CUBE 교재수능특강 쌍둥이 변형 · 미적분수열의 극한·미분법·적분법 전 범위 237문항. 전 문항 독립 검산으로 정답 정합성 확인.표지를 누르면 교재 쪽으로 갑니다 →
연구소 도구
연구 노트 · 자료는 수능특강 쌍둥이 미적분 03 무료 샘플의 본문항 34개와 수야T 예상 적중 문제 4개, 그리고 해설의 정답 번호입니다. 38문항의 답은 모두 수치 계산으로 다시 풀어 해설의 정답 번호와 맞춰 보았고, 34문항의 여섯 갈래와 16가지 실수는 해설의 발상 줄을 참고한 연구소의 분류입니다. 실수마다 그 한 곳만 틀린 채로 끝까지 계산해 어느 선지에 닿는지 셌으며, 출제 의도를 밝힌 것은 아닙니다.
선지에 값이 있어도 한 줄은 검산하고, 맞힌 문항의 미분도 다시 쓰십시오.
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