EBS 수능특강 쌍둥이 수학Ⅱ·확률과 통계 두 권, 단원 끝에 예상 적중 4문항을 붙인 까닭
"확통 선택인데 수학Ⅱ 쌍둥이까지 따로 풀어야 하나요?" 수능을 한 달 남짓 앞두고 확률과 통계를 고른 학생에게서 흔히 나오는 물음입니다. 수학Ⅱ는 공통과목이라 미적분 선택자와 똑같이 시험에 나오는데도 선택과목에 마음이 쏠리면서 뒤로 밀리기 쉽습니다. 이 글은 수능특강 쌍둥이 변형문제집 가운데 수학Ⅱ 권과 확률과 통계 권을 놓고 두 권을 어떻게 설계했는지, 단원 끝에 붙인 문항으로 무엇을 가려내는지, 남은 5주에 어떤 박자로 쓰면 되는지를 적었습니다.
연구 요약
수학Ⅱ 권은 함수의 극한부터 정적분까지 수능특강의 유형과 순서를 따라가며 문항마다 발상 한 줄을 먼저 두는 해설로 짰습니다. 확률과 통계 권은 7개 테마 전 범위에 테마마다 예상 적중 문제 4문항, 모두 28문항을 붙였습니다. 무료 샘플 두 단원(수학Ⅱ 03 미분계수와 도함수 31쪽, 확률과 통계 03 확률의 뜻과 활용 28쪽)의 단원 끝 문항 넷을 골라 풀이 뼈대와 틀리는 곳을 보였습니다. 마지막으로 10월 15일(목)부터 수능(11월 19일)까지 35일을 확통 테마 일곱에 맞춰 나눈 사용 순서와 값, 샘플 링크를 붙였습니다.
목차
- 확통 선택자가 두 권을 같이 펴는 까닭
- 수학Ⅱ 권, 해설을 문제보다 길게 쓴 단원
- 확률과 통계 권, 테마마다 4문항씩 28문항
- 선택지 하나 차이로 갈리는 두 문항
- 두 권이 맞는 학생, 다른 책이 맞는 학생
- 수능까지 35일, 확통 일곱 테마에 맞춘 순서
- 무료 샘플 두 단원과 교재 값
1. 확통 선택자가 두 권을 같이 펴는 까닭
확률과 통계를 선택한 학생의 수능 수학은 공통과목 수학Ⅰ·수학Ⅱ와 선택과목 확률과 통계로 짜입니다. 수학Ⅰ 권은 LAB 44 수학Ⅰ·미적분 두 권에서 따로 다뤘으니 이 글은 남은 두 권을 봅니다. 두 권은 성격이 꽤 다릅니다. 수학Ⅱ는 극한과 미분의 식을 다루고 확통은 경우를 빠짐없이 세는 과목이라 막히는 지점도 다릅니다.
그래도 두 권에는 같은 설계를 넣었습니다. 수능특강 문항의 유형과 순서를 그대로 두고 숫자와 조건만 바꿨습니다. 수능특강을 옆에 펴고 같은 번호끼리 맞대 보면 숫자가 바뀌어도 그대로 남는 풀이의 첫 단계가 보이도록 만든 것입니다. 쌍둥이 네 과목을 왜 이렇게 만들었는지는 EBS 수능특강 쌍둥이 문제집, 두 번째 풀이가 달라지게 만든 방법에 적었습니다.
이번 글에서 보려는 것은 두 권의 단원 끝입니다. 샘플 두 단원 모두 본문항이 끝난 다음 쪽에 수야T 예상 적중 문제 4문항을 두었습니다. 본문항이 수능특강의 유형을 다시 손에 익히는 쪽이라면 끝의 4문항은 그 단원을 정말 끝냈는지 가려내는 쪽입니다.
| 구분 | 수학Ⅱ 권 | 확률과 통계 권 |
|---|---|---|
| 범위 | 함수의 극한부터 정적분까지 | 7개 테마 전 범위 |
| 무료 샘플 | 03 미분계수와 도함수 · 31쪽 | 03 확률의 뜻과 활용 · 28쪽 |
| 샘플 문항 | 본문항 29 + 예상 적중 4 | 본문항 32 + 예상 적중 4 |
| 샘플 해설 | 22쪽 | 17쪽 |
| 값 | 9,800원 → 8,820원 | 9,800원 → 8,820원 |
데이터 해석
- 해설이 문제보다 길다: 수학Ⅱ 03 샘플은 문제가 9쪽인데 해설은 22쪽입니다. 해설이 문제의 두 배를 넘는 단원으로 짰습니다.
- 확통은 단원 끝이 두 쪽: 확통 03 샘플은 예상 적중 4문항에 두 쪽을 썼습니다. 문항마다 조건이 길어서 한 쪽에 몰아넣지 않았습니다.
2. 수학Ⅱ 권, 해설을 문제보다 길게 쓴 단원
수학Ⅱ 권의 해설은 문항마다 두 층입니다. 맨 위에 「수야T's 발상」 한 줄을 두고 그 아래 실전 풀이를 이어 썼습니다. 미분계수와 도함수 단원은 극한의 정의로 돌아가 식의 모양을 맞추는 문항이 많아서 풀이의 첫 단계에서 멈추는 학생이 많습니다. 그래서 발상 한 줄을 먼저 읽고 식을 따라가도록 해설 쪽을 넉넉하게 잡았습니다.
단원 끝 예상 적중 1번을 보겠습니다.
다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-x^3}{x^2}=2\) (나) \(\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-5}{x-1}=4\). 함수 \(g(x)=(x^2-2x)f(x)\)에 대하여 \(g'(1)\)의 값은? (출처: 수능특강 쌍둥이 무료 샘플 수학Ⅱ 03 수야T 예상 적중 1번)
(가)를 보면 \(f(x)=x^3+2x^2+ax+b\) 꼴이고 (나)에서 \(f(1)=5\), \(f'(1)=4\)가 나옵니다. 여기서 \(a\)와 \(b\)부터 구하고 싶어집니다. 그렇게 풀어도 \(a=-3\), \(b=5\)로 답은 나옵니다. 그런데 곱의 미분법을 먼저 적어 보면 길이 훨씬 짧습니다.
\(x=1\)에서 \(2x-2\)가 0이 되어 앞의 항이 통째로 사라집니다. 남는 것은 \(-f'(1)\)뿐이고 정답은 ①입니다.
- 감점 포인트: \(x^2-2x\)에 1을 넣은 값 \(-1\)의 부호를 놓치면 4가 나오고 이 값이 선택지 ⑤번에 있습니다.
- 30초 검산: 구한 \(a=-3\), \(b=5\)로 \(f'(1)=3+4+a\)를 다시 계산해 4가 나오는지 보십시오.
이 문항을 처음부터 \(a\), \(b\)를 구하는 쪽으로만 풀었다면 틀린 것은 아니지만 시간을 더 쓴 것입니다. 해설의 발상 한 줄과 내가 적은 첫 줄을 맞대 보면 어디서 시간이 샜는지 보입니다.
같은 쪽의 4번은 접선 문항입니다.
양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)=x^3-3ax^2+4ax\)가 있다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선이 이 곡선과 점 \((b, f(b))\)에서 만난다. \(b=4\)일 때, \(f'(a)\)의 값은? (단, \(b\ne1\)) (출처: 수능특강 쌍둥이 무료 샘플 수학Ⅱ 03 수야T 예상 적중 4번)
접선의 방정식을 직접 구해 곡선과 연립하면 식이 길어집니다. 해설의 발상 한 줄은 다른 길을 짚습니다. 곡선과 접선을 연립한 삼차방정식은 접점 \(x=1\)을 중근으로, \(x=b\)를 나머지 근으로 가지니 세 근의 합은 \(1+1+b\)이고 이 값이 \(x^2\)의 계수에서 나오는 \(3a\)와 같습니다.
정답은 ③입니다. 실제로 \(f(x)=x^3-6x^2+8x\)의 \((1, 3)\)에서 그은 접선 \(y=-x+4\)는 \(x=4\)에서 곡선과 다시 만납니다.
- 감점 포인트: 접점을 한 번만 세어 \(1+b=3a\)로 쓰는 실수입니다. 그러면 \(a\)가 \(\frac53\)이 되어 선택지 어디에도 없는 값으로 갑니다.
- 30초 검산: \(a=2\)를 넣은 \(f(4)\)와 접선의 \(x=4\) 값이 둘 다 0인지 보십시오.
두 문항 모두 본문항에서 익힌 계산을 그대로 쓰지만 계산 순서를 바꾸면 풀이가 훨씬 짧아지는 문항입니다. 단원 끝 4문항을 이렇게 고른 데는 까닭이 있습니다. 본문항을 다 맞힌 학생도 첫 단계를 고르는 눈이 덜 섰다면 여기서 시간을 쓰는데 수능 당일에는 그 몇 분이 뒤쪽 문항에서 모자라게 됩니다. 수학Ⅱ 미분에서 풀이를 여는 식을 더 보고 싶다면 수학Ⅱ 미분 첫 줄 막힐 때 접점부터 t로 두기를 함께 보십시오.
3. 확률과 통계 권, 테마마다 4문항씩 28문항
확통 권은 수능특강의 7개 테마를 전 범위로 옮기고 테마마다 예상 적중 문제를 4문항씩 붙였습니다. 7개 테마이니 모두 28문항입니다. 샘플 03 단원에서 보시는 4문항 틀을 권 전체에 그대로 넣었습니다.
왜 확통에만 이 28문항을 권 전체에 걸쳐 따로 세웠을까요? 확통은 본문항을 풀 때 수능특강에서 본 그림이나 상황이 떠올라 세는 방법까지 함께 기억나기 쉬운 과목입니다. 숫자를 바꿔도 같은 상황이면 손이 먼저 움직입니다. 그래서 단원 끝에는 상황이 처음 보는 꼴인데 세는 원리는 그 단원의 것인 문항을 두었습니다.
예상 적중 1번이 그런 문항입니다.
두 집합 \(X=\{1, 2, 3, 4\}\), \(Y=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)에 대하여 \(X\)에서 \(Y\)로의 모든 함수 \(f\) 중 임의로 하나를 선택할 때, \(f(1)\le f(2)\le f(3)\)을 만족시키는 사건을 \(A\), \(f(3)\le f(4)\)를 만족시키는 사건을 \(B\)라 하자. 사건 \(A\cup B\)가 일어날 확률은? (출처: 수능특강 쌍둥이 무료 샘플 확률과 통계 03 수야T 예상 적중 1번)
함수 문항처럼 보이지만 확률의 덧셈정리 단원의 문항입니다. 전체는 \(6^4=1296\)가지이고 크기 순서가 정해진 값은 중복조합으로 셉니다.
두 사건을 동시에 만족하면 \(f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\)가 한 줄로 이어지니 교집합은 4개를 중복으로 고르는 수 하나로 끝납니다. \(n(A\cup B)=336+756-126=966\)이고 확률은 \(\frac{966}{1296}=\frac{161}{216}\), 정답은 ③입니다.
이 문항의 선택지는 분모를 216으로 맞추면 분자가 157부터 163 사이에 몰려 있도록 잡았습니다. 대충 어림해서 가장 그럴듯한 값을 고를 수 없습니다. 세 값 가운데 하나라도 틀리게 세면 이웃한 번호로 갑니다.
- 감점 포인트: 교집합을 빼지 않으면 \(\frac{1092}{1296}\)이 나와 선택지에 맞는 값이 없습니다. 이럴 때는 가까운 번호를 고르지 말고 교집합부터 다시 세십시오.
- 30초 검산: \(f(3)\)이 두 사건에 함께 걸려 있는지부터 보십시오. 걸려 있으면 교집합은 부등식 한 줄입니다.
4. 선택지 하나 차이로 갈리는 두 문항
같은 단원의 예상 적중 2번은 여사건을 다룹니다.
한 개의 주사위를 4번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 \(a, b, c, d\)라 하자. \((a-b)(b-c)(c-d)=0\) 이거나 \(a=d\)일 확률은? (출처: 수능특강 쌍둥이 무료 샘플 확률과 통계 03 수야T 예상 적중 2번)
곱이 0이거나 같다는 조건을 그대로 세면 겹치는 경우가 너무 많습니다. 그래서 반대로 봅니다. 사건이 일어나지 않으려면 \(a\ne b\), \(b\ne c\), \(c\ne d\), \(a\ne d\)가 모두 성립해야 하는데 이것은 네 칸을 원으로 이어 놓고 이웃한 칸끼리 다른 수를 넣는 경우와 같습니다. 해설은 이를 「6색 원형 색칠하기」로 바꿔 \(a\)와 \(c\)가 같은 경우와 다른 경우로 나눴습니다.
여사건은 630가지이고 구하는 확률은 \(1-\frac{630}{1296}=1-\frac{35}{72}=\frac{37}{72}\), 정답은 ③입니다.
여기서 가장 아까운 실수는 계산을 다 해 놓고 마지막에 1에서 빼지 않는 것입니다. 여사건의 확률 \(\frac{35}{72}\)가 선택지 ①번에 그대로 있습니다. 여사건으로 바꿔 풀었다면 답을 고르기 직전에 내가 지금 구한 것이 어느 쪽 확률인지 한 번 물어보십시오.
- 감점 포인트: 원으로 잇는 조건 \(a\ne d\)를 빼고 일렬로만 세면 \(6\times5\times5\times5\)가 되어 다른 값으로 갑니다.
- 30초 검산: 여사건 630과 사건 666을 더해 1296이 되는지 보십시오.
1번과 2번을 나란히 놓으면 단원 끝 4문항을 어떻게 짰는지가 보입니다. 1번은 교집합을 하나의 부등식으로 묶는 문항이고 2번은 여사건으로 돌아가는 문항입니다. 덧셈정리 단원에서 쓰는 두 방향을 한 쪽에 하나씩 넣었습니다. 본문항의 첫 단계를 어떻게 여는지는 수능특강 쌍둥이 확률과 통계·수학Ⅱ 69문항, 막히는 곳은 풀이 첫 단계에서 따로 다뤘으니 이 글에서는 단원 끝만 보았습니다.
5. 두 권이 맞는 학생, 다른 책이 맞는 학생
두 권이 모든 고3에게 맞지는 않습니다. 선택과목과 수능특강을 어디까지 풀었는지로 판단하면 됩니다.
| 학생 | 권하는 쓰임 |
|---|---|
| 확통 선택, 수능특강 수학Ⅱ·확통을 한 번 끝냄 | 두 권 모두, 6절의 순서대로 |
| 본문항은 풀리는데 단원 끝 4문항에서 둘 이상 막힘 | 막힌 과목의 권부터 |
| 미적분 선택 | 수학Ⅱ 권만, 확통 권은 필요 없음 |
| 수능특강을 아직 펴지 않음 | 쌍둥이보다 수능특강을 먼저 |
컨설턴트의 시선
- 확통 점수가 안정적이라도 수학Ⅱ는 따로 본다: 공통과목 수학Ⅱ는 선택과목과 상관없이 모두가 같은 문항을 풉니다. 확통이 편하다는 이유로 수학Ⅱ를 미뤄 두면 공통 문항에서 잃는 점수를 선택과목으로 메우기 어렵습니다.
- 고난도 대비서는 아니다: 두 권 모두 수능특강의 유형과 순서에 맞춰 만들었으니 난이도도 수능특강 선에 있습니다. 수능특강 범위 밖의 고난도 문항만 찾는 학생에게는 다른 책이 맞습니다.
어느 권부터 펼지 망설여진다면 무료 샘플 두 단원의 끝 4문항만 먼저 풀어 보십시오. 수학Ⅱ 03의 끝 4문항이 술술 풀리는데 확통 03의 끝에서 1번이나 2번 같은 문항에 걸린다면 확통 권부터 시작하면 됩니다. 반대로 확통은 괜찮은데 수학Ⅱ의 접선 문항에서 식이 길어졌다면 수학Ⅱ 권이 먼저입니다.
학부모님께는 이렇게 말씀드립니다. 확통을 고른 학생 가운데 "확통은 이제 다 맞아요"라고 말하는 경우가 있습니다. 그 말이 본문항 이야기인지 처음 보는 상황의 문항 이야기인지를 가려 보는 데 단원 끝 4문항이 쓰입니다. 바뀐 숫자 가운데 어느 것이 답을 움직이는지 읽는 법은 쌍둥이 문항 읽는 법에 적어 두었습니다.
6. 수능까지 35일, 확통 일곱 테마에 맞춘 순서
10월 15일(목)부터 11월 19일(목) 수능까지는 35일입니다. 확통 권의 7개 테마에 맞춰 이 기간을 세 토막으로 나눴습니다. 수능특강을 한 번 푼 학생 기준이고 수학Ⅰ은 이 표 밖에서 따로 돈다고 보았습니다.
| 토막 | 날짜 | 할 일 |
|---|---|---|
| D-35 ~ D-15 (21일) | 10/15(목) ~ 11/4(수) | 3일에 확통 한 테마: 확통 본문항 → 수학Ⅱ → 확통 단원 끝 4문항 |
| D-14 ~ D-8 (7일) | 11/5(목) ~ 11/11(수) | 단원 끝 문항 가운데 틀린 것과 표시한 번호만 다시 |
| D-7 ~ D-1 (7일) | 11/12(목) ~ 11/18(수) | 새 문항 없이, 두 번 풀고도 첫 단계가 흔들린 번호만 |
첫 토막 21일은 사흘씩 일곱 번 돕니다. 첫날은 확통 한 테마의 본문항을 풀되 수능특강에서 틀렸거나 오래 걸린 번호부터 쌍둥이의 같은 번호를 폅니다. 둘째 날은 수학Ⅱ 권으로 넘어가 같은 방법으로 풉니다. 셋째 날에는 첫날 푼 확통 테마의 끝 4문항을 시간을 재고 풉니다. 하루를 띄우는 까닭이 있습니다. 본문항을 푼 바로 그날 끝 문항을 풀면 방금 쓴 방법이 손에 남아 있어서 정말 익혔는지 가려지지 않기 때문입니다.
둘째 토막에는 새 테마를 열지 않습니다. 첫 토막에서 틀린 단원 끝 문항과 표시한 번호만 두 권을 섞어 다시 풉니다. 확통 28문항을 모두 다시 풀 필요는 없습니다. 첫 시도에서 맞혔더라도 시간이 오래 걸린 문항은 함께 넣으십시오.
마지막 일주일은 새 문항을 늘리지 않습니다. 수능 직전에 새 문제를 더 푸는 것보다 두 번 풀고도 첫 단계가 흔들린 번호를 한 번 더 보는 편이 점수로 남습니다.
데이터 해석
- 사흘 한 묶음의 근거: 확통 7개 테마를 사흘씩 돌면 21일로 첫 토막이 딱 맞습니다. 이 배분은 연구소의 연습 제안이며 하루에 풀 수 있는 양은 학생마다 다릅니다.
- 늦게 시작했다면: 첫 토막에서 이미 자신 있는 테마를 빼고 마지막 일주일은 그대로 두십시오. 줄일 곳은 새 문항을 푸는 날입니다.
7. 무료 샘플 두 단원과 교재 값
샘플은 회원가입 없이 PDF로 받습니다. 받아서 단원 끝 4문항부터 풀어 보면 앞 절에서 말한 판단을 한 시간 안에 할 수 있습니다.
단품은 권마다 정가 9,800원, 지금 판매가 8,820원(10% 할인)입니다. 수학Ⅱ 권과 확통 권 두 권이면 17,640원입니다. 수학Ⅰ까지 함께 돌 계획이라면 세트 수Ⅰ+수Ⅱ+확통이 정가 29,400원, 판매가 24,990원(15% 할인)이라 단품 세 권(26,460원)보다 1,470원 적게 듭니다. 두 권 값에 7,350원을 더하면 수학Ⅰ 권까지 들어오는 셈입니다.
| 교재 | 정가 | 판매가 |
|---|---|---|
| 수학Ⅱ | 9,800원 | 8,820원 |
| 확률과 통계 | 9,800원 | 8,820원 |
| 세트 수Ⅰ+수Ⅱ+확통 | 29,400원 | 24,990원 |
수학Ⅰ은 이미 다른 책으로 정리했다면 단품 두 권이, 공통과목 둘과 확통을 한 번에 돌 계획이면 세트가 맞습니다.
입시CUBE 교재수능특강 쌍둥이 변형 · 확률과 통계7개 테마 전 범위 + 단원별 「예상 적중 문제」 28문항으로 마지막 체화 점검까지.표지를 누르면 교재 쪽으로 갑니다 →
연구소 도구
연구 노트 · 문항과 정답, 쪽수는 수능특강 쌍둥이 무료 샘플 두 단원(수학Ⅱ 03, 확률과 통계 03)에서 옮겼고 권 전체의 범위·테마 수·예상 적중 문항 수와 값은 판매 쪽 상품 설명을 따랐습니다. 수능특강 원래 문항은 EBS 저작물이라 싣지 않았습니다. 수능 날짜는 2027학년도 수능 시행기본계획의 11월 19일이고 35일 세 토막은 연구소의 연습 제안입니다.
도움이 됐다면 구독과 공감으로 다음 글을 받아 보십시오. 오늘은 확통 03 샘플의 마지막 두 쪽, 예상 적중 4문항부터 풀어 보십시오.
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